Un pays compte 300 loups en 2017. On estime que la population des loups croit naturellement au
rythme de 12 % par an. Pour réguler la population des loups. le gouvernement autorise les chasseurs
à tuer un quota de 18 loups par an.
On modélise la population par une suite (u_n) le terme u_n représentant le nombre de loups de ce pays
en 2017+n.
- a. Avec ce modèle vérifier que le nombre de loups de ce pays en 2018 sera de 318.
b. Justifier que, pour tout entier n \in \mathbf{N} , u_{n+1}=1.12u_n-18.
2. Recopier et compléter l’algorithme suivant pour qu’il détermine au bout de combien d’années
la population de loups aura doublé.
N ← 0
U ← 300
Tant que ………………… faire
U ← ···
N ← ···
Fin Tant que
3. On définit la suite (v_n) par : v_n=u_n-150 pour tout n\in\mathbf{N}.
a. Montrer que la suite (v_n) est une suite géométrique de raison 1.12.
Préciser son terme initial.
b. Exprimer, pour tout n\in\mathbf{N}, v_n en fonction de n.
En déduire u_n en fonction de n.
c. Quelle est la limite de la suite (u_n)? Justifier.
Que peut-on en déduire ?
Augmenter de 12 % revient à multiplier par 1.12.
Comme il y a 300 loups en 2017, en 2018 il y en aura :
300\times 1.12 -18=318.
u_n représente le nombre de loups à l’année 2017+n et u_{n+1} représente le nombre de loups à l’année suivante c’est-à-dire 2017+(n+1)
Pour exprimer u_{n+1} en fonction de u_{n} , on utilise l’énoncé.
D’une année sur l’autre le nombre de loups augmente de 12 % (on multiplie par 1.12 ) puis on autorise à tuer 18 animaux ( on enlève 18 ).
u_{n+1}=1.12\times u_n-18.
N ← 0
U ← 300
Tant que U < 600 faire
U ← 1,12×U −18
N ← N +1
Fin Tant que
Pour montrer que la suite (v_n) est géométrique, nous allons montrer que v_{n+1}=1.12\times v_n.
étape n°1 : j’exprime v_{n+1} en fonction de u_{n+1}
étape n°3 : je remplace u_{n+1} par 1.12u_{n}-18
étape n°4 : je réduis
étape n°5 : je mets 1.12 en facteur ( il multiplie u_{n}).
étape n°2 : j’exprime v_{n+1} en fonction de v_n
v_{n+1}=u_{n+1}-150\\v_{n+1}=(1.12u_{n}-18)-150\\v_{n+1}=1.12u_{n}-168\\v_{n+1}=1.12(u_{n}-150)\\v_{n+1}=1.12v_n
Donc la suite (v_n) est géométrique de raison q=1.12 et de premier terme v_0=300-150=150.
Comme (v_n) est une suite géométrique : v_n=v_0q^n
Ainsi v_n=150\times 1.12^n.
On sait que v_n=u_n-150
Ecrire A=B ou B=A revient à la même chose.
u_n-150=v_n
u_n=v_n+150
On remplace ensuite v_n par 150\times 1.12^n.
u_n=150\times 1.12^n+150
Soit q un nombre réel.
- Si q \leq -1 alors la suite (q^n) diverge et n’admet pas de limite.
- Si -1<q<1 alors la suite (q^n) converge vers 0.
- Si q =1 alors la suite (q^n) converge vers 1.
- Si q >1 alors la suite (q^n) diverge vers +\infty.
Comme q>1 car q=1.12, on a :
lim_{n\to{+\infty}}1.12^n=+\infty
Comme 150 est positif
lim_{n\to{+\infty}}150\times 1.12^n=+\infty\\lim_{n\to{+\infty}}150\times 1.12^n+150=+\infty
Donc lim_{n\to{+\infty}}u_n=+\infty
La régulation proposée ne fonctionne pas et la population des loups va augmenter de façon très importante.