Dans un repère orthonormé, on considère les points suivants A(-4;-1) , B(-1;3) et C(3;1).
La fenêtre Géogébra est active, utilisez-la à bon escient.
- Calculer les distances AB , AC et BC.
Avant de se lancer dans les calculs, mesurer la distance AB à l’aide de la fenêtre active de géogébra ci-dessus.
Cliquer sur le 8ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Distance ou Longueur. Puis dans le repère cliquer successivement sur le point A et sur le point B. Le logiciel affiche la distance [latex]AB[/latex].
2. Calculer la mesure en degrés des angles \widehat{BCA} , \widehat{ABC} et \widehat{CAB}
Avant de se lancer dans les calculs, mesurer l’angle \widehat{BCA} à l’aide de la fenêtre active de géogébra ci-dessus.
Cliquer sur le 8ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Angle. Puis dans le repère cliquer successivement sur le point B, sur le point C et sur le point A. Le logiciel affiche la mesure en degrés de l’angle \widehat{BCA}.
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{B} y_{B}
\hspace{0.2cm} A(-4;-1) \hspace{0.4cm} B(-1;3)
On écrit la formule du cours :
AB=\sqrt {{(x_B-x_A) }^{2}+{(y_B-y_A) }^{2}}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
AB=\sqrt {{((-1)-(-4))}^{2}+{(3-(-1))}^{2}}
On calcule. On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses
AB=\sqrt {{3}^{2}+{4}^{2}}
On effectue ensuite les puissances, ici les carrés.
AB=\sqrt {9+16}
On effectue ensuite la somme
AB=\sqrt {25}
AB=5
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et C ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{C} y_{C}
\hspace{0.2cm} A(-4;-1) \hspace{0.4cm} C(3;1)
On écrit la formule du cours :
AC=\sqrt {{(x_C-x_A) }^{2}+{(y_C-y_A) }^{2}}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
AC=\sqrt {{(3-(-4))}^{2}+{(1-(-1))}^{2}}
On calcule. On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses
AC=\sqrt {{7}^{2}+{2}^{2}}
On effectue ensuite les puissances, ici les carrés.
AC=\sqrt {49+4}
On effectue ensuite la somme
AC=\sqrt {53}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points B et C ainsi
\hspace{0.6cm} x_{B} y_{B} \hspace{0.6cm} x_{C} y_{C}
\hspace{0.2cm} B(-1;3) \hspace{0.4cm} C(3;1)
On écrit la formule du cours :
BC=\sqrt {{(x_C-x_B) }^{2}+{(y_C-y_B) }^{2}}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
BC=\sqrt {{(3-(-1))}^{2}+{(1-3)}^{2}}
On calcule. On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses
BC=\sqrt {{4}^{2}+{(-2)}^{2}}
On effectue ensuite les puissances, ici les carrés.
BC=\sqrt {16+4}
On effectue ensuite la somme
BC=\sqrt {20}
Comme 20 peut s’écrire comme le produit d’un nombre fois le carré d’un nombre, on peut poursuivre.
BC=\sqrt {4\times 5}
BC=\sqrt {4}\times \sqrt{5}
BC=2\sqrt {5}
Voici ce qu’on peut conjecturer avec géogébra, \widehat{BCA} mesure 43°.
On veut déterminer une mesure de l’angle \widehat{BCA} en utilisant Al Kashi.
Pour la formule, c’est facile. A gauche du signe égal, il y aura le carré du côté opposé à l’angle \widehat{BCA} ici AB.
A droite les carrés des côtés adjacents à l’angle ici AC et BC et l’opposé de leur double produit multiplié par cos( \widehat{BCA}).
AB^2=BC^2+AC^2-2\times BC\times AC\times cos(\widehat{BCA})
On remplace AB par 5.
On remplace BC par 2\sqrt{5}.
On remplace AC par \sqrt{53}.
5^2=(2\sqrt{5})^2+\sqrt{53}^2-2\times 2\sqrt{5}\times \sqrt{53}\times cos(\widehat{BCA})
On calcule les puissances et les produits.
25=20+53- 4\sqrt{265}cos(\widehat{BCA})
25=73- 4\sqrt{265}cos(\widehat{BCA})
73- 4\sqrt{265}cos(\widehat{BCA})=25
– 4\sqrt{265}cos(\widehat{BCA})=25-73
– 4\sqrt{265}cos(\widehat{BCA})=-48
cos(\widehat{BCA})=\frac{-48}{-4\sqrt{265}}
\widehat{BCA}=cos^{-1}(\frac{12}{\sqrt{265}})
\widehat{BCA}=43°
A l’aide de Géogébra, on conjecture que l’angle \widehat{ABC} mesure 100°.
On veut déterminer une mesure de l’angle \widehat{ABC} en utilisant Al Kashi.
Pour la formule, c’est facile. A gauche du signe égal, il y aura le carré du côté opposé à l’angle \widehat{ABC} ici AC.
A droite les carrés des côtés adjacents à l’angle ici AB et BC et l’opposé de leur double produit multiplié par cos( \widehat{ABC}).
AC^2=BC^2+AB^2-2\times BC\times AB\times cos(\widehat{ABC})
On remplace AB par 5.
On remplace BC par 2\sqrt{5}.
On remplace AC par \sqrt{53}.
\sqrt{53}^2=(2\sqrt{5})^2+5^2-2\times 2\sqrt{5}\times 5\times cos(\widehat{ABC})
On calcule les puissances et les produits.
53=20+25- 20\sqrt{5}cos(\widehat{ABC})
53=45- 20\sqrt{5}cos(\widehat{ABC})
45- 20\sqrt{5}cos(\widehat{ABC})=53
– 20\sqrt{5}cos(\widehat{ABC})=53-45
– 20\sqrt{5}cos(\widehat{ABC})=8
cos(\widehat{ABC})=\frac{8}{-20\sqrt{5}}
\widehat{ABC}=cos^{-1}(-\frac{2}{5\sqrt{5}})
\widehat{ABC}=100°
Avec Géogébra, on conjecture que \widehat{CAB}=37°.
On veut déterminer une mesure de l’angle \widehat{CAB} en utilisant Al Kashi.
Pour la formule, c’est facile. A gauche du signe égal, il y aura le carré du côté opposé à l’angle \widehat{BCA} ici BC.
A droite les carrés des côtés adjacents à l’angle ici AC et AB et l’opposé de leur double produit multiplié par cos( \widehat{CAB}).
BC^2=AB^2+AC^2-2\times AB\times AC\times cos(\widehat{CAB})
On remplace AB par 5.
On remplace BC par 2\sqrt{5}.
On remplace AC par \sqrt{53}.
(2\sqrt{5})^2=5^2+\sqrt{53}^2-2\times 5\times \sqrt{53}\times cos(\widehat{CAB})
On calcule les puissances et les produits.
20=25+53- 10\sqrt{53}cos(\widehat{CAB})
20=78- 10\sqrt{53}cos(\widehat{CAB})
78- 10\sqrt{53}cos(\widehat{CAB})=20
– 10\sqrt{53}cos(\widehat{CAB})=20-78
– 10\sqrt{53}cos(\widehat{CAB})=-58
cos(\widehat{CAB})=\frac{-58}{-10\sqrt{53}}
\widehat{CAB}=cos^{-1}(\frac{29}{5\sqrt{53}})
\widehat{CAB}=37°
Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180°, donc :
\widehat{BCA}+\widehat{ABC}+\widehat{CAB}=180\\43+100+\widehat{CAB}=180\\143+\widehat{CAB}=180\\\widehat{CAB}=180-143\\\widehat{CAB}=37°