Voici une vidéo où on résout l’inéquation (2x+1)^2<9, vous pouvez vous en inspirer pour résoudre (x-4)^2\leq 25.
Résoudre dans \mathbf{R} l’ inéquation du second degré suivante : (x-4)^2\leq 25
Valider vos réponses avec la page géogébra ci-dessous. Pour cela saisir l’inéquation sur la ligne n°1 puis cliquer sur le 7ème onglet X=, à l’écran s’affiche l’intervalle solution sous forme d’inégalités.
on résout graphiquement l’inéquation (x-4)^{2} \leq 25
La courbe est située sous la droite d’équation y=25 pour les valeurs de x comprises entre -1 et9.
S=[-1;9].
Résolvons dans \mathbf{R}, l’inéquation suivante (x-4)^{2} \leq 25
L’inéquation à résoudre (x-4)^{2} \leq 25 est du 2nd degré car en développant (x-4)^{2} le plus grand exposant de x est 2.
La méthode proposée concerne les inéquations du second degré.
(x-4)^{2} \leq 25
1.Je fais tout passer à gauche, zéro apparaît à droite.
le 25 à droite n’est pas à sa place, j’enlève 25 de chaque côté.
(x-4)^{2}-25 \leq 0
2. Je factorise le membre de gauche.
a. Il n’y a pas de facteur commun.
b. J’utilise l’identité remarquable a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) pour factoriser (x-4)^{2}-25
a^{2}=(x-4)^{2} \hspace{2cm}a=(x-4)
b^{2}=25\hspace{3.2cm}b=5
Je remplace a et b par (x-4) et 5 dans a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)
((x-4)-5)((x-4)+5) \leq 0\\(x-9)(x+1) \leq 0
3. J’écris la phrase d’introduction.
Je cherche pour quelles valeurs de x, le produit (x-9)(x+1) est de signe(-) ou nul.
4. Je prépare mon tableau de signes.
Je résous x-9=0\\x=9
Je résous x+1=0\\x=-1
Je place les valeurs -1 et 9 sur la première ligne du tableau en les rangeant dans le bon ordre. Je place les zéros sur les lignes en-dessous.
Je remplis ce tableau avec des signes (-), (+) , des zéros et parfois des doubles barres quand il y a des valeurs interdites.
On utilise le résultat du cours suivant :
Sur la ligne du facteur (x-9), comme a=1 , on commence par le signe (-) jusqu’au zéro et on complète avec des (+).
Sur la ligne du facteur (x+1), comme a=1 , on commence par le signe (-) jusqu’au zéro et on complète avec des (+).
Pour compléter la ligne du produit (x-9)(x+1), j’applique la règle des signes pour le produit.
plus par plus : plus.
plus par moins : moins.
moins par plus : moins.
moins par moins : plus.
5. Je réponds à la phrase d’introduction.
Le produit (x-9)(x+1) est de signe(-) pour la deuxième colonne qui correspond aux valeurs de x comprises entre -1 et 9.
Je prends les valeurs -1 et 9 car le produit peut être nul. Donc je ferme les crochets en -1 et 9, ce qui signifie que les crochets sont tournés vers l’intérieur.
S=[-1;9]