Résoudre \frac{x^2}{5}+\frac{x}{4}+\frac{1}{2}<0.
1.Conjecture graphique :
pour résoudre graphiquement \frac{x^2}{5}+\frac{x}{4}+\frac{1}{2}<0.
Je traduis la question par une phrase en français:
Je cherche pour quelles valeurs de x la courbe de la fonction f est en dessous et pas sur la droite d’équation y=0 ( c’est l’axe des abscisses)
où f est définie sur \mathbf{R} par f(x)=\frac{x^2}{5}+\frac{x}{4}+\frac{1}{2}.
Ensuite je parcours la courbe avec mon index de la gauche vers la droite en disant oui si la courbe de la fonction f est en dessous et pas sur la droite d’équation y=0 et non dans le cas contraire.
Je conclus S=\empty
2.Résoudre \frac{x^2}{5}+\frac{x}{4}+\frac{1}{2}<0 par le calcul
Etape n°1 : Ecrire la phrase d’introduction.
Je cherche pour quelles valeurs de x le polynôme \frac{x^2}{5}+\frac{x}{4}+\frac{1}{2} est de signe négatif (–) .
Etape n°2: Etude du signe de \frac{x^2}{5}+\frac{x}{4}+\frac{1}{2} par le calcul en utilisant le théorème vu dans la fiche 1.signe d’un polynôme du 2nd degré.
J’identifie les coefficients a=\frac{1}{5}, b=\frac{1}{4} et c=\frac{1}{2}.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par \frac{1}{5}, \frac{1}{4} ,\frac{1}{2} .
\Delta=(\frac{1}{4})²-4\times{\frac{1}{5}}\times{\frac{1}{2}}
On effectue la puissance et avant d’effectuer le produit, on simplifie par 2.
\Delta=\frac{1}{16}-\frac{2}{5}
On doit mettre au même dénominateur, ici 80.
\Delta={\frac{1}{16}}\times{\frac{5}{5}}-{\frac{2}{5}}\times{\frac{16}{16}}\\\Delta=\frac{5}{80}-\frac{32}{80}\\\Delta=-\frac{27}{80}
Comme \Delta<0 ,ax²+bx+c est toujours du signe de a.
Je dresse le tableau de signes du polynôme:
Comme a=\frac{1}{5} le signe de a est positif.
Etape n°3 : Je réponds à la question posée en lisant le tableau de signes
le polynôme \frac{x^2}{5}+\frac{x}{4}+\frac{1}{2} n’est jamais de signe négatif (–).
J’écris l’ensemble solution.
S=\empty.
3. Valider avec l’application Calcul Formel de Géogébra
