Définition
A et B sont deux évènements avec p(A)\ne 0.
La probabilité de l’évènement B sachant A est définie par p_A(B)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}.
Dans ce cas précis la condition est A, c’est cet évènement qui est écrit juste après le mot sachant.
Exercice n°1:
Dans un pays, il y a 2 % de la population contaminée par un virus.
On dispose d’un test de dépistage d’un virus qui a les propriétés suivantes :
– La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test).
– La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificité du
test).
On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.
On note V l’évènement « la personne est contaminée par le virus » et T l’évènement « le test est positif ».
\bar{V}et \bar{T} désignent respectivement les évènements contraires de V et T .
Préciser les valeurs des probabilités p(V), p_V(T) et p_{\bar{V}}(\bar{T}) puis compléter l’arbre ci-dessous.
Propriété : Formule de Bayes
A et B sont deux évènements de probabilités non nulles.
On a:
p_B(A)\times p(B)=p_A(B)\times p(A).
Ou encore
p_B(A)=\frac{p_A(B)\times p(A)}{p(B)}.
Exercice n°2 :
Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent
emporter les voyageurs.
On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.
On note :
S l’évènement « le voyageur fait sonner le portique »;
M l’évènement « le voyageur porte un objet métallique ».
On considère qu’un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique.
1. On admet que :
Lorsqu’un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le
portique sonne est égale à 0,98;
Lorsqu’un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à 0,98.
À l’aide des données de l’énoncé, préciser les valeurs de p(M), p_M(S)et p_{\bar{M}}(\bar{S})
2. Recopier et indiquer les probabilités sur les branches de l’arbre pondéré ci-dessous illustrant la situation.
3. Montrer que : p(S)=0.02192.
4. A l’aide de la formule de Bayes, calculer la probabilité qu’un voyageur porte un objet métallique sachant qu’il a fait sonner le portique.
définition
Dire que deux évènements A et B sont indépendants signifie que p(A\cap B)={p(A)}\times{p(B)}.
Exercice n°3
A et B sont deux évènements d’un univers \Omega. p(A)=0.4 , p(B)=0.5 et p(A\cup B)=0.7
- Calculer p(A\cap B).
2. Les évènements A et B sont-ils incompatibles ?
3. Les évènements A et B sont-ils indépendants ?
Propriété :
– A et B sont indépendants si et seulement si p_A(B)=p(B)
– A et B sont indépendants si et seulement si p_B(A)=p(A)
Définition : Partition de l’univers
On considère un univers \Omega, on dit que \{A_1,A_2,…,A_n\} forme une partition de l’univers si les évènements sont disjoints deux à deux et si A_1\cup A_2\cup…\cup A_n=\Omega.
Propriété : Théorème des probabilités totales
On considère un univers \Omega et \{A_1,A_2,…,A_n\} une partition de l’univers. Pour tout évènement B de l’univers.
p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2\cap B)+…+p(A_n\cap B)
Exercice n°4
Une entreprise de transports routiers dispose de 16 camions dont :
• 9 sont considérés comme « anciens »
• 4 sont considérés comme « récents »
• 3 sont considérés comme « neufs ».
L’entreprise décide d’observer l’état des 16 camions pendant une période donnée. On sait de plus
que, pendant cette période, la probabilité que :
• un camion « ancien » ait une panne, est égale à 0,08
• un camion « récent » ait une panne, est égale à 0,05
• un camion « neuf » ait une panne, est égale à 0,002 5.
On choisit au hasard un camion parmi les 16. On note les évènements suivants :
A : « le camion est ancien »
R : « le camion est récent »
N : « le camion est neuf »
D : « le camion a une panne ».
1. Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
2. Calculer p(R\cap D).
3. A l’aide du théorème des probabilités totales calculer p(D)
4. A l’aide de la formule de Bayes, calculer la probabilité que le camion soit récent sachant qu’il a une panne.
Conseil : il est parfois utile de reformuler les phrases pour se ramener au plus près des définitions du cours.
Dans un pays, il y a 2 % de la population contaminée par un virus, donc p(V)=0.02.
La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de 0,99.
On peut aussi écrire : sachant que la personne est contaminée, la probabilité qu’elle ait un test positif est 0.99.
donc p_V(T)=0.99
La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97
On peut aussi écrire : sachant que la personne est non contaminée, la probabilité qu’elle ait un test négatif est 0.97.
donc p_{\bar{V}}(\bar{T})=0.97.
On reporte les probabilités trouvées sur les branches correspondantes de l’arbre ci-dessous.
Pour les branches sans probabilités, on utilise la propriété suivante : la somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud est égale à 1.
Par exemple la somme des probabilités sur les branches primaires est égale à 1 donc p(V)+p(\bar{V})=1
0.02+p(\bar{V})=1
p(\bar{V})=1-0.02
p(\bar{V})=0.98
Par exemple la somme des probabilités sur les branches secondaires issues de l’évènement \bar V est égale à 1 donc p_{\bar V} (T)+p_{\bar V}(\bar T)=1
p_{\bar V}(T)+0.97=1
p_{\bar V}(T)=1-0.97
p_{\bar V}(T)=0.03
Par exemple la somme des probabilités sur les branches secondaires issues de l’évènement V est égale à 1 donc p_V(T)+p_V(\bar T)=1
0.99+p_V(\bar T)=1
p_V(\bar T)=1-0.99
p_V(\bar T)=0.01
On considère qu’un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique donc p(M)=\frac{1}{500}
Lorsqu’un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à 0,98.
On réécrit la phrase sachant qu’un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à 0,98.
p_M(S)=0.98
Lorsqu’un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à 0,98.
On réécrit la phrase sachant que le voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à 0,98
p_{\bar{M}}(\bar{S})=0.98.
On utilise les résultats de la question précédente pour indiquer les probabilités sur les branches.
Remarque la somme des probabilités sur les branches provenant d’un même noeud est égale à 1.
On veut calculer p(S).
On ajoute les probabilités de tous les chemins qui mènent à l’évènement S ce qui revient à appliquer la formule des probabilités totales du cours.
p(S)=p(M\cap S)+p(\bar M\cap S)\\\hspace{0.85cm}=\frac{1}{500}\times 0.98+\frac{499}{500}\times 0.02\\\hspace{0.85cm}=0.00196+0.01996\\\hspace{0.85cm}=0.02192
Calculer la probabilité qu’un voyageur porte un objet métallique sachant qu’il a fait sonner le portique.
Ici la condition est il a fait sonner le portique, c’est-à-dire l’évènement S et l’évènement est le voyageur porte un objet métallique c’est-à-dire l’évènement M. On veut donc calculer p_S(M) qu’on ne peut pas lire dans l’arbre car sur celui-ci la condition est M ou \bar M.
On applique donc la formule de Bayes p_B(A)=\frac{p_A(B)\times p(A)}{p(B)} en remplaçant A par M et en remplaçant B par S dans la formule.
p_S(M)=\frac{p_M(S)\times p(M)}{p(S)}
On a montré précédemment que p(S)=0.02192.
p_S(M)=\frac{0.98\times \frac{1}{500}}{0.02192}
p_S(M)=\frac{0.00196}{0.02192}\\p_S(M)=0.0894
A et B sont deux évènements d’un univers \Omega. p(A)=0.4 , p(B)=0.5 et p(A\cup B)=0.7.
Pour calculer p(A\cap B), on applique la formule suivante :
p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)
On remplace p(A) par 0.4 , p(B) par 0.5 et p(A\cup B) par 0.7 dans la formule.
0.7=0.4+0.5-p(A\cap B)\\p(A\cap B)=0.4+0.5-0.7\\p(A\cap B)=0.2
Pour montrer que les évènements A et B sont incompatibles il faut montrer que A\cap B ne contient aucune issue ou montrer que p(A\cap B)=0.
On a montré précédemment que p(A\cap B)=0.2 donc la probabilité est non nulle ainsi les évènements A et B ne sont pas incompatibles.
Pour montrer que les évènements A et B sont indépendants il faut montrer que p(A\cap B)=p(A)\times p(B) .
On a montré précédemment que p(A\cap B)=0.2 .
On calcule : p(A)\times p(B)=0.4\times 0.5=0.2
Comme p(A\cap B)=p(A)\times p(B), les évènements sont indépendants .
On s’intéresse aux trois branches primaires, l’expérience consiste à choisir un camion parmi les 16 de l’entreprise.
Chaque camion a \frac{1}{16} d’être choisi.
Il y a 9 camions anciens donc dans l’évènement A il y a 9 issues qui ont chacune une probabilité \frac{1}{16} d’être choisi.
p(A)=\frac{1}{16}
Il y a 4 camions récents donc dans l’évènement R il y a 4 issues qui ont chacune une probabilité \frac{1}{16} d’être choisi.
p(R)=\frac{4}{16}
Il y a 3 camions neufs donc dans l’évènement N il y a 3 issues qui ont chacune une probabilité \frac{1}{16} d’être choisi.
p(R)=\frac{3}{16}
la probabilité qu’ un camion « ancien » ait une panne, est égale à 0,08
On peut réécrire la phrase : sachant que le camion est ancien, la probabilité qu’il ait une panne est 0.08
Ici la condition est le camion est ancien et l’évènement il a une panne.
p_A(D)=0.08, on en déduire que p_A(\bar D)=1-0.08=0.92
la probabilité qu’ un camion « récent » ait une panne, est égale à 0,05
On peut réécrire la phrase : sachant que le camion est récent, la probabilité qu’il ait une panne est 0.05
Ici la condition est le camion est récent et l’évènement il a une panne.
p_R(D)=0.05, on en déduire que p_R(\bar D)=1-0.05=0.95
la probabilité qu’un camion « neuf » ait une panne, est égale à 0,002 5.
On peut réécrire la phrase : sachant que le camion est neuf, la probabilité qu’il ait une panne est 0.0025
Ici la condition est le camion est neuf et l’évènement il a une panne.
p_N(D)=0.0025, on en déduire que p_N(\bar D)=1-0.0025=0.9975
On veut calculer p(R\cap D).
C’est la probabilité du chemin qui passe par R et D, on fait le produit des probabilités sur les branches.
p(R\cap D)=\frac{4}{16}\times 0.05=0.0125.
Remarque cela revient à appliquer la formule du cours suivante p(R\cap D)=p(R)\times p_R(D).
On veut calculer p(D).
On ajoute les probabilités de tous les chemins qui mènent à l’évènement D ce qui revient à appliquer la formule des probabilités totales du cours.
p(D)=p(A\cap D)+p(R\cap D)+p(N\cap D).
\hspace{0.85cm}=\frac{9}{16}\times 0.08+0.0125+\frac{3}{16}\times 0.0025\\\hspace{0.85cm}=0.045+0.0125+0.0005\\\hspace{0.85cm}=0.058.
Calculer la probabilité que le camion soit récent sachant qu’il a une panne.
Ici la condition est il a une panne, c’est-à-dire l’évènement D et l’évènement est le camion est récent c’est-à-dire l’évènement R. On ne peut pas lire la probabilité p_D(R) sur l’arbre car sur celui-ci la condition est A,Rou N.
On applique donc la formule de Bayes p_B(A)=\frac{p_A(B)\times p(A)}{p(B)} en remplaçant A par R et en remplaçant B par D dans la formule.
p_D(R)=\frac{p_R(D)\times p(R)}{p(D)}
On a montré que p(D)=0.058
p_D(R)=\frac{0.05\times\frac{4}{16}}{0.058}\\p_D(R)=\frac{0.0125}{0.058}\\p_D(R)=0.2155