Un petit conseil, avant de vous lancer dans le calcul de \Delta, faire une conjecture graphique en utilisant la fenêtre Géogébra ci-dessous . N’hésitez pas à déplacer le graphique et à utiliser Agrandissement et Réduction pour faire apparaître les points d’intersection de la courbe et de l’axe des abscisses.
Pour cela saisir par exemple f(x)=x^2-5x+4 dans la colonne de gauche et regarder quand la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses et quand la courbe est en-dessous de l’axe des abscisses.
Exercice
En utilisant le théorème du cours étudier le signe des fonctions polynômes du second degré suivants :
- f(x)=x^2-5x+4
2. f(x)=x^2-4x+4
3. f(x)=-x^2-x-1
4. f(x)=-2x^2-x+10
5. f(x)=x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}
6. f(x)=3x^3+2x
7. f(x)=x^2+4
8. f(x)=-x^2+2x+1
Pour valider votre réponse, utiliser la page Calcul Formel de Géogébra ci-dessous:
3. Vérification à l’aide de l’application Calcul Formel de Géogébra.
On peut par exemple chercher pour quelles valeurs de x le polynôme est de signe + puis on compare avec le résultat obtenu.
Pour cela saisir par exemple x^2-5x+4 >0 sur la ligne n°1 et cliquer sur 7ème onglet (X=) en haut à partir de la gauche.
La réponse qui apparait est {x<1,x>4}
Conjecture graphique :
Pour déterminer graphiquement le signe de x^2-5x+4
Je parcours la courbe avec mon index de la gauche vers la droite en disant positif si la courbe de la fonction f est au dessus de l’axe des abscisses et en disant négatif si la courbe de la fonction f est en-dessous de l’axe des abscisses
La fonction polynôme est de signe + à l’extérieur des racines 1 et 4 et est de signe – à l’intérieur des racines 1 et 4. Elle s’annule pour les valeurs 1 et 4.
Etude du signe de x^2-5x+4 par le calcul en utilisant le théorème plus haut.
J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=-5 et c=4.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 1, (-5) ,4 .
\Delta=(-5)²-4\times{1}\times{4}\\\Delta=25-16\\\Delta=9
Comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
et ax²+bx+c est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de (-a) à l’intérieur des racines.
Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 1, (-5), 9.
x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{9}}{2\times{1}}\\x_1=\frac{5-3}{2}\\x_1=\frac{2}{2}\\x_1=1
Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 1, (-5) , 9.
x_2=\frac{-(-5)+\sqrt{9}}{2\times{1}}\\x_2=\frac{5+3}{2}\\x_2=\frac{8}{2}\\x_2=4
Je dresse le tableau de signes du polynôme:
Comme a=1 le signe de a est positif.
Conjecture graphique :
Pour déterminer graphiquement le signe de f(x)=x^2-4x+4
Je parcours la courbe avec mon index de la gauche vers la droite en disant positif si la courbe de la fonction f est au dessus de l’axe des abscisses et en disant négatif si la courbe de la fonction f est en-dessous de l’axe des abscisses
La fonction polynôme est toujours de signe + . Elle s’annule pour la valeur 2 .
Etude du signe de f(x)=x^2-4x+4 par le calcul en utilisant le théorème plus haut.
J’identifie les coefficients a=1, b=-4 et c=4.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 1, (-4), 4 .
\Delta=(-4)²-4\times{1}\times{4}\\\Delta=16-16\\\Delta=0
comme \Delta=0, ax²+bx+c est toujours du signe de a et s’annule pour x_0=-\frac{b}{2a}
Je calcule x_0=-\frac{b}{2a} en remplaçant a,b par 1, (-4).
x_0=-\frac{(-4)}{2\times{1}}\\x_0=\frac{4}{2}\\x_0=2
Je dresse le tableau de signes de la fonction polynôme.
Comme a=1 le signe de a est positif.
Conjecture graphique :
Pour déterminer graphiquement le signe de f(x)=-x^2-x-1
Je parcours la courbe avec mon index de la gauche vers la droite en disant positif si la courbe de la fonction f est au dessus de l’axe des abscisses et en disant négatif si la courbe de la fonction f est en-dessous de l’axe des abscisses
La fonction polynôme est toujours de signe – . De plus, elle ne s’annule jamais.
Etude du signe de -x^2-x-1 par le calcul en utilisant le théorème.
J’identifie les coefficients l’équation a=-1, b=-1 et c=-1.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par (-1),(-1),(-1) .
\Delta=(-1)²-4\times{(-1)}\times{(-1)}\\\Delta=1-4\\\Delta=-3
comme \Delta<0 , ax²+bx+c est toujours du signe de a.
Comme a=-1, -x^2-x-1 est toujours du signe –.
Conjecture graphique :
Pour déterminer graphiquement le signe de f(x)=-2x^2-x+10
Je parcours la courbe avec mon index de la gauche vers la droite en disant positif si la courbe de la fonction f est au dessus de l’axe des abscisses et en disant négatif si la courbe de la fonction f est en-dessous de l’axe des abscisses
La fonction polynôme est de signe – à l’extérieur des racines -2.5 et 3 et est de signe + à l’intérieur des racines -2.5 et 3. Elle s’annule pour les valeurs -2.5 et 2.
Etude du signe de la fonction polynôme f(x)=-2x^2-x+10 par le calcul en utilisant le théorème .
J’identifie les coefficients l’équation a=-2, b=-1 et c=10.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par (-2), (-1) ,10 .
\Delta=(-1)²-4\times{(-2)}\times{10}\\\Delta=1+80\\\Delta=81
Comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
et ax²+bx+c est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de (-a) à l’intérieur des racines.
Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par (-2), (-1), 81.
x_1=\frac{-(-1)-\sqrt{81}}{2\times{(-2)}}\\x_1=\frac{1-9}{-4}\\x_1=\frac{-8}{-4}\\x_1=2
Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par (-2), (-1), 81.
x_2=\frac{-(-1)+\sqrt{81}}{2\times{(-2)}}\\x_2=\frac{1+9}{-4}\\x_2=\frac{10}{-4}\\x_2=-\frac{5}{2}
Je dresse le tableau de signes du polynôme:
Comme a=-2 le signe de a est négatif.
Attention : ici la plus petite des racines est x_2 donc on met d’abord -\frac{5}{2} puis à sa gauche x_1 c’est-à-dire 2.
Conjecture graphique :
Pour déterminer graphiquement le signe de f(x)=x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}
Je parcours la courbe avec mon index de la gauche vers la droite en disant positif si la courbe de la fonction f est au dessus de l’axe des abscisses et en disant négatif si la courbe de la fonction f est en-dessous de l’axe des abscisses
La fonction polynôme est toujours de signe +. Elle s’annule pour la valeur -0.25 .
Etude du signe de f(x)=x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} par le calcul en utilisant le théorème du cours.
J’identifie les coefficients a=1, b=\frac{1}{2} et c=\frac{1}{16}.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{16} .
\Delta=(\frac{1}{2})²-4\times{1}\times{\frac{1}{16}}\\\Delta=\frac{1}{4}-\frac{4}{16}\\\Delta=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\\\Delta=0
comme \Delta=0, ax²+bx+c est toujours du signe de a et s’annule pour x_0=-\frac{b}{2a}
Je calcule x_0=-\frac{b}{2a} en remplaçant a,b par 1, \frac{1}{2}.
x_0=-\frac{\frac{1}{2}}{2\times{1}}\\x_0=-\frac{\frac{1}{2}}{2}
Diviser par 2 revient à multiplier par son inverse \frac{1}{2}
x_0=-{\frac{1}{2}}\times{\frac{1}{2}}\\x_0=-\frac{1}{4}
Je dresse le tableau de signes de la fonction polynôme.
Comme a=1 le signe de a est positif.
Conjecture graphique :
Pour déterminer graphiquement le signe de f(x)=3x^2+2x
Je parcours la courbe avec mon index de la gauche vers la droite en disant positif si la courbe de la fonction f est au dessus de l’axe des abscisses et en disant négatif si la courbe de la fonction f est en-dessous de l’axe des abscisses
La fonction polynôme est de signe + à l’extérieur des racines -0.7 et 0 et de signe – à l’intérieur des racines -0.7 et 0. De plus, elle s’annule pour les valeurs -0.7 et 0.
Etude du signe de la fonction polynôme f(x)=3x^2+2x par le calcul en utilisant le théorème du cours.
J’identifie les coefficients l’équation a=3, b=2 et c=0.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 3, 2 ,0 .
\Delta=2²-4\times{3}\times{0}\\\Delta=4-0\\\Delta=4
Comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
et ax²+bx+c est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de (-a) à l’intérieur des racines.
Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 3, 2, 4.
x_1=\frac{-2-\sqrt{4}}{2\times{3}}\\x_1=\frac{-2-2}{6}\\x_1=\frac{-4}{6}
Après simplification par 2
x_1=-\frac{2}{3}
Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 3, 2, 4.
x_2=\frac{-2+\sqrt{4}}{2\times{3}}\\x_2=\frac{-2+2}{6}\\x_2=\frac{0}{6}\\x_2=0
Je dresse le tableau de signes de la fonction polynôme:
Comme a=3 le signe de a est positif.
Conjecture graphique :
Pour déterminer graphiquement le signe de x^2+4
Je parcours la courbe avec mon index de la gauche vers la droite en disant positif si la courbe de la fonction f est au dessus de l’axe des abscisses et en disant négatif si la courbe de la fonction f est en-dessous de l’axe des abscisses
La fonction polynôme est toujours du signe + . Elle ne s’annule jamais.
Etude du signe de la fonction polynôme f(x)=x^2+4 par le calcul en utilisant le théorème.
J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=0 et c=4.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 1,0,4 .
\Delta=0²-4\times{1}\times{4}\\\Delta=0-16\\\Delta=-16
comme \Delta<0 , ax²+bx+c est toujours du signe de a.
Comme a=1, la fonction polynôme f(x)=x^2+4 est toujours du signe +.
Remarque : ce résultat était bien sûr prévisible car x^2+4 est la somme de deux nombres positifs donc positive.
Conjecture graphique :
Pour déterminer graphiquement le signe de f(x)=-x^2+2x+1
Je parcours la courbe avec mon index de la gauche vers la droite en disant positif si la courbe de la fonction f est au dessus de l’axe des abscisses et en disant négatif si la courbe de la fonction f est en-dessous de l’axe des abscisses
La fonction polynôme est de signe – à l’extérieur des racines -0.4 et 2.4 et est de signe + à l’intérieur des racines -0.4 et 2.4. Elle s’annule pour les valeurs -0.4 et 2.4.
Etude du signe de la fonction polynôme f(x)=-x^2+2x+1 par le calcul en utilisant le théorème du cours.
J’identifie les coefficients l’équation a=-1, b=2 et c=1.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par (-1), 2,1 .
\Delta=2²-4\times{(-1)}\times{1}\\\Delta=4+4\\\Delta=8
Comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
et ax²+bx+c est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de (-a) à l’intérieur des racines.
Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par (-1), 2, 8.
x_1=\frac{-2-\sqrt{8}}{2\times{(-1)}}
8 est le produit d’un carré fois un nombre 8=4\times2 donc \sqrt{8}=\sqrt{4\times2}={\sqrt{4}}\times{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}
x_1=\frac{-2-2\sqrt{2}}{-2}
On factorise le numérateur par -2 pour pouvoir ensuite simplifier.
x_1=\frac{-2(1+\sqrt{2})}{-2}
x_1=1+\sqrt{2}
Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par (-1), 2, 8.
x_2=\frac{-2+\sqrt{8}}{2\times{(-1)}}
8 est le produit d’un carré fois un nombre 8=4\times2 donc \sqrt{8}=\sqrt{4\times2}={\sqrt{4}}\times{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}
x_2=\frac{-2+2\sqrt{2}}{-2}
On factorise le numérateur par -2 pour pouvoir ensuite simplifier.
x_2=\frac{-2(1-\sqrt{2})}{-2}
x_2=1-\sqrt{2}
Je dresse le tableau de signes de la fonction polynôme.
Comme a=-1 le signe de a est négatif
