Un petit conseil, avant de vous lancer dans le calcul de \Delta, faire une conjecture graphique en utilisant la fenêtre Géogébra ci-dessous . N’hésitez pas à déplacer le graphique et à uliliser Agrandissement et Réduction pour faire apparaître les points d’intersection éventuels.
Exercice :
En utilisant le théorème du cours résoudre les inéquations suivantes :
- x^2+x-6 \leq 0
2. 1+4x+4x^2 \geq 0
3. -\frac{1}{2}x^2+x-1>0
4. -x^2+5x<5
5. 2x^2+2\sqrt3x+1 \leq 0
6. x^2+\sqrt{2}x>-1
7. \frac{x^2}{4}+\frac{x}{4}+\frac{1}{2}<0
8. -2x^2-x+\frac{3}{4}>0
Pour valider votre réponse, utiliser la page Calcul Formel de Géogébra ci-dessous:
Conjecture graphique :
pour résoudre graphiquement x^2+x-6\leq 0
Je traduis la question par une phrase en français:
Je cherche pour quelles valeurs de x la courbe de la fonction f est en dessous ou sur la droite d’équation y=0 ( c’est l’axe des abscisses)
où f est définie sur \mathbf{R} par f(x)=x^2+x-6.
Ensuite je parcours la courbe avec mon index de la gauche vers la droite en disant oui si la courbe de la fonction f est en dessous ou sur la droite d’équation y=0 et non dans le cas contraire.
Je conclus S=\left[-3;2\right]
Résoudre x^2+x-6\leq 0 par le calcul.
Etape n°1 : Ecrire la phrase d’introduction.
Je cherche pour quelles valeurs de x le polynôme x^2+x-6 est de signe négatif (–) ou nul (0)
Etape n°2: Etude du signe de x^2+x-6 par le calcul en utilisant le théorème vu dans la fiche 1.signe d’un polynôme du 2nd degré.
J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=1 et c=-6.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 1, 1 ,(-6) .
\Delta=1²-4\times{1}\times{(-6)}\\\Delta=1+24\\\Delta=25
Comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
ax²+bx+c est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de (-a) à l’intérieur des racines.
Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 1, 1, 25.
x_1=\frac{-1-\sqrt{25}}{2\times{1}}\\x_1=\frac{-1-5}{2}\\x_1=-\frac{6}{2}.
x_1=-3.
Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 1, 1, 25.
x_2=\frac{-1+\sqrt{25}}{2\times{1}}\\x_2=\frac{-1+5}{2}\\x_2=\frac{4}{2}.
x_2=2.
Je dresse le tableau de signes du polynôme:
Comme a=1 le signe de a est positif.
Etape n°3 : Je réponds à la question posée en lisant le tableau de signes
le polynôme x^2+x-6 est de signe négatif (–) ou nul (0) pour la deuxième colonne du tableau de signes.
J’écris l’ensemble solution sous forme d’intervalle.
S=\left[-3;2\right].
Conjecture graphique :
pour résoudre graphiquement 1+4x+4x^2\geq 0
Je traduis la question par une phrase en français:
Je cherche pour quelles valeurs de x la courbe de la fonction f est au dessus ou sur la droite d’équation y=0 ( c’est l’axe des abscisses)
où f est définie sur \mathbf{R} par f(x)=1+4x+4x^2.
Ensuite je parcours la courbe avec mon index de la gauche vers la droite en disant oui si la courbe de la fonction f est au dessus ou sur la droite d’équation y=0 et non dans le cas contraire.
Je conclus S=\left[-1.8;0.8\right]
Résoudre 1+4x+4x^2\geq 0 par le calcul.
On ordonne le polynôme 4x^2+4x+1 \geq 0
Etape n°1 : Ecrire la phrase d’introduction.
Je cherche pour quelles valeurs de x le polynôme 4x^2+4x+1 est de signe positif (+) ou nul (0)
Etape n°2: Etude du signe de 4x^2+4x+1 par le calcul en utilisant le théorème vu dans la fiche 1.signe d’un polynôme du 2nd degré.
J’identifie les coefficients l’équation a=4, b=4 et c=1.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 4, 4, 1 .
\Delta=4²-4\times{4}\times{1}\\\Delta=16-16\\\Delta=0
comme \Delta=0, ax²+bx+c est toujours du signe de a et s’annule pour x_0=-\frac{b}{2a}
Je calcule x_0=-\frac{b}{2a} en remplaçant a,b par 4, 4.
x_0=-\frac{4}{2\times{4}}\\x_0=-\frac{1}{2}
Je dresse le tableau de signes du polynôme:
Comme a=4 le signe de a est positif.
Etape n°3 : Je réponds à la question posée en lisant le tableau de signes
le polynôme 4x^2+4x+1 est de signe positif (+) ou nul (0) pour toutes les valeurs de x.
J’écris l’ensemble solution sous forme d’intervalle.
S=\left]-\infty;+\infty\right[.
Conjecture graphique :
pour résoudre graphiquement -\frac{1}{2}x^2+x-1> 0
Je traduis la question par une phrase en français:
Je cherche pour quelles valeurs de x la courbe de la fonction f est au dessus et pas sur la droite d’équation y=0 ( c’est l’axe des abscisses)
où f est définie sur \mathbf{R} par f(x)=-\frac{1}{2}x^2+x-1.
Ensuite je parcours la courbe avec mon index de la gauche vers la droite en disant oui si la courbe de la fonction f est au dessus et pas sur la droite d’équation y=0 et non dans le cas contraire.
Je conclus S=\empty
Résoudre -\frac{1}{2}x^2+x-1>0 par le calcul.
Etape n°1 : Ecrire la phrase d’introduction.
Je cherche pour quelles valeurs de x le polynôme -\frac{1}{2}x^2+x-1 est de signe positif (+) .
Etape n°2: Etude du signe de -\frac{1}{2}x^2+x-1 par le calcul en utilisant le théorème vu dans la fiche 1.signe d’un polynôme du 2nd degré.
J’identifie les coefficients l’équation a=-\frac{1}{2}, b=1 et c=-1.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par -\frac{1}{2}, 1,(- 1) .
\Delta=1²- {4}\times{(-\frac{1}{2})}\times{(-1)}
\Delta=1-2\\\Delta=-1
comme \Delta<0, ax²+bx+c est toujours du signe de a .
Je dresse le tableau de signes du polynôme:
Comme a=-\frac{1}{2} le signe de a est négatif.
Etape n°3 : Je réponds à la question posée en lisant le tableau de signes
Le polynôme -\frac{1}{2}x^2+x-1 n’est jamais de signe positif (+).
J’écris l’ensemble solution.
S=\empty.
Conjecture graphique :
pour résoudre graphiquement -x^2+5x<5, on fait d’abord tout passer à gauche : -x^2+5x-5<0
Je traduis la question par une phrase en français:
Je cherche pour quelles valeurs de x la courbe de la fonction f est en dessous et pas sur la droite d’équation y=0 ( c’est l’axe des abscisses)
où f est définie sur \mathbf{R} par f(x)=-x^2+5x-5.
Ensuite je parcours la courbe avec mon index de la gauche vers la droite en disant oui si la courbe de la fonction f est en dessous et pas sur la droite d’équation y=0 et non dans le cas contraire.
Je conclus S=\left[-0.5;1.4\right[\cup\left]3.6;5.5\right]
Résoudre -x^2+5x<5 par le calcul, il faut d’abord tout faire passer à gauche : -x^2+5x-5<0
Etape n°1 : Ecrire la phrase d’introduction.
Je cherche pour quelles valeurs de x le polynôme -x^2+5x-5 est de signe négatif (–) .
Etape n°2: Etude du signe de -x^2+5x-5 par le calcul en utilisant le théorème vu dans la fiche 1.signe d’un polynôme du 2nd degré.
J’identifie les coefficients l’équation a=-1, b=5 et c=-5.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par (-1), 5 ,(-5) .
\Delta=5²-4\times{(-1)}\times{(-5)}\\\Delta=25-20\\\Delta=5
Comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
ax²+bx+c est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de (-a) à l’intérieur des racines.
Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par (-1), 5, 5.
x_1=\frac{-5-\sqrt{5}}{2\times{(-1)}}\\x_1=\frac{-5-\sqrt{5}}{-2}\\x_1=-\frac{(-5-\sqrt{5})}{2}\\x_1=\frac{5+\sqrt{5}}{2}
Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par (-1), 5, 5.
x_2=\frac{-5+\sqrt{5}}{2\times{(-1)}}\\x_2=\frac{-5+\sqrt{5}}{-2}\\x_2=-\frac{(-5+\sqrt{5})}{2}.
x_2=\frac{5-\sqrt{5}}{2}.
Je dresse le tableau de signes du polynôme:
Comme a=-1 le signe de a est négatif.
Etape n°3 : Je réponds à la question posée en lisant le tableau de signes
le polynôme -x^2+5x-5 est de signe négatif (–) pour la première et la troisième colonnes.
J’écris l’ensemble solution sous forme d’intervalle.
S=\left]-\infty;\frac{5-\sqrt{5}}{2}\right[\cup\left]\frac{5+\sqrt{5}}{2};+\infty\right[.
Conjecture graphique :
pour résoudre graphiquement 2x^2+2\sqrt{3}x+1\leq 0
Je traduis la question par une phrase en français:
Je cherche pour quelles valeurs de x la courbe de la fonction f est en dessous ou sur la droite d’équation y=0 ( c’est l’axe des abscisses)
où f est définie sur \mathbf{R} par f(x)=2x^2+2\sqrt{3}x+1.
Ensuite je parcours la courbe avec mon index de la gauche vers la droite en disant oui si la courbe de la fonction f est en dessous ou sur la droite d’équation y=0 et non dans le cas contraire.
Je conclus S=\left[-1.4;-0.4\right]
Résoudre 2x^2+2\sqrt{3}x+1\leq 0 par le calcul.
Etape n°1 : Ecrire la phrase d’introduction.
Je cherche pour quelles valeurs de x le polynôme 2x^2+2\sqrt{3}x+1 est de signe négatif (–) ou nul (0)
Etape n°2: Etude du signe de 2x^2+2\sqrt{3}x+1 par le calcul en utilisant le théorème vu dans la fiche 1.signe d’un polynôme du 2nd degré.
J’identifie les coefficients l’équation a=2, b=2\sqrt{3} et c=1.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 2, 2\sqrt{3} ,1 .
\Delta=(2\sqrt{3})²-4\times{2}\times{1}\\\Delta=2^2\sqrt{3}²-8\\\Delta=4\times3-8\\\Delta=12-8\\\Delta=4
Comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
ax²+bx+c est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de (-a) à l’intérieur des racines.
Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 2, 2\sqrt{3}, 4.
x_1=\frac{-2\sqrt{3}-\sqrt{4}}{2\times{2}}\\x_1=\frac{-2\sqrt{3}-2}{2\times{2}}
Avant de multiplier, mieux vaut simplifier par 2. Je prends soin de mettre 2 en facteur au numérateur.
x_1=\frac{2(-\sqrt{3}-1)}{2\times{2}}\\x_1=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}
Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 2, 2\sqrt{3}, 4.
x_2=\frac{-2\sqrt{3}+\sqrt{4}}{2\times{2}}\\x_2=\frac{-2\sqrt{3}+2}{2\times{2}}
Avant de multiplier, mieux vaut simplifier par 2. Je prends soin de mettre 2 en facteur au numérateur.
x_2=\frac{2(-\sqrt{3}+1)}{2\times{2}}\\x_2=\frac{-\sqrt{3}+1}{2}
Je dresse le tableau de signes du polynôme:
Comme a=2 le signe de a est positif.
Etape n°3 : Je réponds à la question posée en lisant le tableau de signes
le polynôme 2x^2+2\sqrt{3}x+1 est de signe négatif (–) ou nul (0) pour la deuxième colonne du tableau de signes.
J’écris l’ensemble solution sous forme d’intervalle.
S=\left[\frac{-\sqrt{3}-1}{2};\frac{-\sqrt{3}+1}{2}\right].
Conjecture graphique :
pour résoudre graphiquement x^2+\sqrt{2}x>-1 , je fais tout passer à gauche, zéro apparaît à droite.
Je résous x^2+\sqrt{2}x+1>0
Je traduis la question par une phrase en français:
Je cherche pour quelles valeurs de x la courbe de la fonction f est au dessus et pas sur la droite d’équation y=0 ( c’est l’axe des abscisses)
où f est définie sur \mathbf{R} par f(x)=x^2+\sqrt{2}x+1.
Ensuite je parcours la courbe avec mon index de la gauche vers la droite en disant oui si la courbe de la fonction f est au dessus et pas sur la droite d’équation y=0 et non dans le cas contraire.
Je conclus S=\left[-3;1.6\right]
Résoudre x^2+\sqrt{2}x>-1 par le calcul.
On fait tout passer à gauche, zéro apparaît à droite :
x^2+\sqrt{2}x+1>0
Etape n°1 : Ecrire la phrase d’introduction.
Je cherche pour quelles valeurs de x le polynôme x^2+\sqrt{2}x+1 est de signe positif (+) .
Etape n°2: Etude du signe de x^2+\sqrt{2}x+1 par le calcul en utilisant le théorème vu dans la fiche 1.signe d’un polynôme du 2nd degré.
J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=\sqrt2 et c=1.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 1, \sqrt2,1 .
\Delta=\sqrt2²- {4}\times{1}\times{1}
\Delta=2-4\\\Delta=-2
comme \Delta<0, ax²+bx+c est toujours du signe de a .
Je dresse le tableau de signes du polynôme:
Comme a=1 le signe de a est positif.
Etape n°3 : Je réponds à la question posée en lisant le tableau de signes
Le polynôme x^2+\sqrt{2}x+1 est toujours de signe positif (+).
J’écris l’ensemble solution.
S=\left]-\infty;+\infty\right[.
Conjecture graphique :
pour résoudre graphiquement \frac{x^2}{5}+\frac{x}{4}+\frac{1}{2}<0.
Je traduis la question par une phrase en français:
Je cherche pour quelles valeurs de x la courbe de la fonction f est en dessous et pas sur la droite d’équation y=0 ( c’est l’axe des abscisses)
où f est définie sur \mathbf{R} par f(x)=\frac{x^2}{5}+\frac{x}{4}+\frac{1}{2}.
Ensuite je parcours la courbe avec mon index de la gauche vers la droite en disant oui si la courbe de la fonction f est en dessous et pas sur la droite d’équation y=0 et non dans le cas contraire.
Je conclus S=\empty
Résoudre \frac{x^2}{5}+\frac{x}{4}+\frac{1}{2}<0 par le calcul
Etape n°1 : Ecrire la phrase d’introduction.
Je cherche pour quelles valeurs de x le polynôme \frac{x^2}{5}+\frac{x}{4}+\frac{1}{2} est de signe négatif (–) .
Etape n°2: Etude du signe de \frac{x^2}{5}+\frac{x}{4}+\frac{1}{2} par le calcul en utilisant le théorème vu dans la fiche 1.signe d’un polynôme du 2nd degré.
J’identifie les coefficients l’équation a=\frac{1}{5}, b=\frac{1}{4} et c=\frac{1}{2}.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par \frac{1}{5}, \frac{1}{4} ,\frac{1}{2} .
\Delta=(\frac{1}{4})²-4\times{\frac{1}{5}}\times{\frac{1}{2}}
On effectue la puissance et avant d’effectuer le produit, on simplifie par 2.
\Delta=\frac{1}{16}-\frac{2}{5}
On doit mettre au même dénominateur, ici 80.
\Delta={\frac{1}{16}}\times{\frac{5}{5}}-{\frac{2}{5}}\times{\frac{16}{16}}\\\Delta=\frac{5}{80}-\frac{32}{80}\\\Delta=-\frac{27}{80}
Comme \Delta<0 ,ax²+bx+c est toujours du signe de a.
Je dresse le tableau de signes du polynôme:
Comme a=\frac{1}{5} le signe de a est positif.
Etape n°3 : Je réponds à la question posée en lisant le tableau de signes
le polynôme \frac{x^2}{5}+\frac{x}{4}+\frac{1}{2} n’est jamais de signe négatif (–).
J’écris l’ensemble solution.
S=\empty.
Conjecture graphique :
pour résoudre graphiquement -2x^2-x+\frac{3}{4}>0
Je traduis la question par une phrase en français:
Je cherche pour quelles valeurs de x la courbe de la fonction f est au dessus et pas sur la droite d’équation y=0 ( c’est l’axe des abscisses)
où f est définie sur \mathbf{R} par f(x)=-2x^2-x+\frac{3}{4}.
Ensuite je parcours la courbe avec mon index de la gauche vers la droite en disant oui si la courbe de la fonction f est au dessus et pas sur la droite d’équation y=0 et non dans le cas contraire.
Je conclus S=\left]-0.9;0.4\right[
Résoudre -2x^2-x+\frac{3}{4}>0 par le calcul.
Etape n°1 : Ecrire la phrase d’introduction.
Je cherche pour quelles valeurs de x le polynôme -2x^2-x+\frac{3}{4} est de signe positif (+) .
Etape n°2: Etude du signe de -2x^2-x+\frac{3}{4} par le calcul en utilisant le théorème vu dans la fiche 1.signe d’un polynôme du 2nd degré.
J’identifie les coefficients l’équation a=-2, b=-1 et c=\frac{3}{4}.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par (-2), (-1) ,\frac{3}{4} .
\Delta=(-1)²-4\times{(-2)}\times{\frac{3}{4}}
J’effectue d’abord la puissance et avant de multiplier je simplifie par 4.
\Delta=1-1\times{(-2)}\times{\frac{3}{1}}\\\Delta=1+6\\\Delta=7
Comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
ax²+bx+c est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de (-a) à l’intérieur des racines.
Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par (-2), (-1), 7.
x_1=\frac{-(-1)-\sqrt{7}}{2\times{(-2)}}\\x_1=\frac{1-\sqrt{7}}{-4}\\x_1=-\frac{(1-\sqrt{7})}{4}\\x_1=\frac{-1+\sqrt{7}}{4}
Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par (-2), (-1), 7.
x_2=\frac{-(-1)+\sqrt{7}}{2\times{(-2)}}\\x_2=\frac{1+\sqrt{7}}{-4}\\x_2=-\frac{(1+\sqrt{7})}{4}.
x_2=\frac{-1-\sqrt{7}}{4}.
Je dresse le tableau de signes du polynôme:
Comme a=-2 le signe de a est négatif.
Etape n°3 : Je réponds à la question posée en lisant le tableau de signes
le polynôme -2x^2-x+\frac{3}{4} est de signe positif (+) pour la deuxième colonne.
J’écris l’ensemble solution sous forme d’intervalle.
S=\left]\frac{-1-\sqrt{7}}{4};\frac{-1+\sqrt{7}}{4}\right[.