Un petit conseil, avant de vous lancer dans le calcul de \Delta, faire une conjecture graphique en utilisant la fenêtre Géogébra ci-dessous . N’hésitez pas à déplacer le graphique et à uliliser Agrandissement et Réduction pour faire apparaître les points d’intersection éventuels.
Exercice :
En utilisant le théorème du cours résoudre les équations suivantes :
- x^2-6x-7=0
2. 49-14x+x^2=0
3. x^2+\frac{3}{4}x=-\frac{1}{2}
4. 3x^2-3=-2x
5. x^2=x+1
6. \frac{x^2}{2}+2x+2=0
7. \frac{x^2}{2}+\frac{x}{3}+\frac{1}{5}=0
8. \frac{x^2}{3}+\frac{x}{2}-\frac{5}{6}=0
Pour valider votre réponse, utiliser la page Calcul Formel de Géogébra ci-dessous:
l’équation x^2-6x-7=0 est de la forme ax^2+bx+c=0
J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=-6 et c=-7.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 1, (-6),(-7).
\Delta=(-6)²-4\times{1}\times{(-7)}\\\Delta=36+28\\\Delta=64
comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 1, (-6) , 64.
x_1=\frac{-(-6)-\sqrt{64}}{2\times{1}}\\x_1=\frac{6-8}{2}\\x_1=\frac{-2}{2}\\x_1=-1
Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 1, (-6) , 64.
x_2=\frac{-(-6)+\sqrt{64}}{2\times{1}}\\x_2=\frac{6+8}{2}\\x_2=\frac{14}{2}\\x_2=7
Je conclus S=\{-1;7\}
L’équation 49-14x+x^2=0 n’est pas de la forme ax^2+bx+c=0, il faut ordonner le polynôme : x^2-14x+49=0
J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=-14 et c=49.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 1, (-14), 49 .
\Delta=(-14)²-4\times{1}\times{49}\\\Delta=196-196\\\Delta=0
comme \Delta=0 , l’équation admet une solution réelle notée x_0=-\frac{b}{2a} .
Je calcule x_0=-\frac{b}{2a} en remplaçant a,b par 1, (-14).
x_0=-\frac{(-14)}{2\times1}\\x_0=\frac{14}{2}\\x_0=7
Je conclus S=\{7\}
L’équation x^2+\frac{3}{4}x=-\frac{1}{2} n’est pas de la forme ax^2+bx+c=0, il faut tout faire passer à gauche :
x^2+\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}=0
J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=\frac{3}{4} et c=\frac{1}{2}.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 1,\frac{3}{4},\frac{1}{2}.
\Delta=(\frac{3}{4})²-4\times{1}\times{\frac{1}{2}}\\\Delta=\frac{9}{16}-2
Pour ajouter ces fractions, on choisit 16 comme dénominateur commun.
\Delta=\frac{9}{16}-{2}\times \frac{16}{16}\\\Delta=\frac{9}{16}-\frac{32}{16}\\\Delta=-\frac{23}{16}
comme \Delta<0 , l’équation n’admet pas de solution
Je conclus S=\emptyset
L’équation 3x^2-3=-2x n’est pas de la forme ax^2+bx+c=0, il faut tout faire passer à gauche et ordonner le polynôme :
3x^2+2x-3=0
J’identifie les coefficients l’équation a=3, b=2 et c=-3.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 3, 2,(-3).
\Delta=2²-4\times{3}\times{(-3)}\\\Delta=4+36\\\Delta=40
comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 3, 2 , 40.
x_1=\frac{-2-\sqrt{40}}{2\times{1}}
Comme 40=4\times 10, on peut écrire \sqrt{40}=\sqrt{4}\sqrt{10}=2\sqrt{10}
x_1=\frac{-2-2\sqrt{10}}{2}
On peut simplifier par 2 en haut et en bas, mieux vaut mettre 2 en facteur au numérateur pour éviter les erreurs de calcul.
x_1=\frac{2\times{(-1-\sqrt{10})}}{2}
x_1=-1-\sqrt{10}
Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 3, 2 , 40.
x_2=\frac{-2+\sqrt{40}}{2\times{1}}
Comme 40=4\times 10, on peut écrire \sqrt{40}=\sqrt{4}\sqrt{10}=2\sqrt{10}
x_2=\frac{-2+2\sqrt{10}}{2}
On peut simplifier par 2 en haut et en bas, mieux vaut mettre 2 en facteur au numérateur pour éviter les erreurs de calcul.
x_2=\frac{2\times{(-1+\sqrt{10})}}{2}
x_2=-1+\sqrt{10}
Je conclus S=\{-1-\sqrt{10};-1+\sqrt{10}\}
L’équation x^2=x+1 n’est pas de la forme ax^2+bx+c=0, il faut tout faire passer à gauche et ordonner le polynôme :
x^2-x-1=0
J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=-1 et c=-1.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 1, (-1),(-1).
\Delta=(-1)²-4\times{1}\times{(-1)}\\\Delta=1+4\\\Delta=5
comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 1, (-1) , 5.
x_1=\frac{-(-1)-\sqrt{5}}{2\times{1}}\\x_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}
Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 1, (-1) , 5.
x_2=\frac{-(-1)+\sqrt{5}}{2\times{1}}\\x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, c’est le célèbre nombre d’or.
Je conclus S=\{\frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2}\}
L’équation \frac{x^2}{2}+2x+2=0 est de la forme ax^2+bx+c=0.
J’identifie les coefficients l’équation a=\frac{1}{2}, b=2 et c=2.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par \frac{1}{2}, 2, 2 .
\Delta=2²-4\times{\frac{1}{2}}\times{2}\\\Delta=4-4\\\Delta=0
comme \Delta=0 , l’équation admet une solution réelle notée x_0=-\frac{b}{2a} .
Je calcule x_0=-\frac{b}{2a} en remplaçant a,b par \frac{1}{2}, 2.
x_0=-\frac{2}{2\times{\frac{1}{2}}}\\x_0=-\frac{2}{1}\\x_0=-2
Je conclus S=\{-2\}
L’équation \frac{x^2}{2}+\frac{x}{3}+\frac{1}{5}=0 est de la forme ax^2+bx+c=0.
J’identifie les coefficients l’équation a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{3} et c=\frac{1}{5}.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{5}.
\Delta=(\frac{1}{3})²-4\times{\frac{1}{2}}\times{\frac{1}{5}}\\\Delta=\frac{1}{9}-\frac{4}{10}
Pour ajouter ces fractions, on choisit 90 comme dénominateur commun.
\Delta={\frac{1}{9}}\times \frac{10}{10}-{\frac{4}{10}}\times \frac{9}{9}\\\Delta=\frac{10}{90}-\frac{36}{90}\\\Delta=-\frac{26}{90}
On simplifie par 2.
\Delta=-\frac{13}{45}
comme \Delta<0 , l’équation n’admet pas de solution
Je conclus S=\emptyset
L’équation \frac{x^2}{3}+\frac{x}{2}-\frac{5}{6}=0 est de la forme ax^2+bx+c=0.
J’identifie les coefficients l’équation a=\frac{1}{3}, b=\frac{1}{2} et c=-\frac{5}{6}.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par \frac{1}{3}, \frac{1}{2},(-\frac{5}{6}).
\Delta=(\frac{1}{2})²-4\times{\frac{1}{3}}\times{(-\frac{5}{6})}
On effectue la puissance
\Delta=\frac{1}{4}-4\times{\frac{1}{3}}\times{(-\frac{5}{6})}
Pour effectuer un produit de fractions, on pense à d’abord simplifier, ici par 2.
\Delta=\frac{1}{4}-2\times{\frac{1}{3}}\times{(-\frac{5}{3})}
\Delta=\frac{1}{4}+\frac{10}{9}
Pour effectuer la somme on met au même dénominateur, ici 36.
\Delta={\frac{1}{4}}\times{\frac{9}{9}}+{\frac{10}{9}}\times{\frac{4}{4}}
\Delta=\frac{9}{36}+\frac{40}{36}
\Delta=\frac{49}{36}
comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par \frac{1}{3}, \frac{1}{2} , \frac{49}{36}.
x_1=\frac{-\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{49}{36}}}{2\times{\frac{1}{3}}}
x_1=\frac{-\frac{1}{2}-\frac{7}{6}}{\frac{2}{3}}
x_1=\frac{{-\frac{1}{2}}\times{\frac{3}{3}}-\frac{7}{6}}{\frac{2}{3}}
x_1=\frac{-\frac{3}{6}-\frac{7}{6}}{\frac{2}{3}}
x_1=\frac{-\frac{10}{6}}{\frac{2}{3}}
x_1={-\frac{10}{6}}\times{\frac{3}{2}}
On peut simplifier par 2 et par 3 en haut et en bas.
x_1={-\frac{5}{2}}\times{\frac{1}{1}}
x_1=-\frac{5}{2}
Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par \frac{1}{3}, \frac{1}{2} , \frac{49}{36}.
x_2=\frac{-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{49}{36}}}{2\times{\frac{1}{3}}}
x_2=\frac{-\frac{1}{2}+\frac{7}{6}}{\frac{2}{3}}
x_2=\frac{{-\frac{1}{2}}\times{\frac{3}{3}}+\frac{7}{6}}{\frac{2}{3}}
x_2=\frac{-\frac{3}{6}+\frac{7}{6}}{\frac{2}{3}}
x_2=\frac{\frac{4}{6}}{\frac{2}{3}}
x_1={\frac{4}{6}}\times{\frac{3}{2}}
On peut simplifier par 2 deux fois et par 3 en haut et en bas.
x_2={\frac{1}{1}}\times{\frac{1}{1}}
x_2=1
Je conclus S=\{-\frac{5}{2};1\}