Ensembles et nombres – Math'O karé

Leopold Kronecker ( 7 décembre 1823 – 29 décembre 1891 ) est un mathématicien et logicien allemand. Il a déclaré : « Dieu a fait les nombres entiers, tout le reste est l’œuvre de l’Homme. »

1.Ensembles de nombres : définitions et propriétés:

L’ensemble des entiers naturels , noté $\mathbb{N}$ est l’ensemble des entiers positifs ou nuls : 0; 1; 2; 3; …

L’ensemble des entiers relatifs, noté $\mathbb{Z}$ est l’ensemble des entiers négatifs, positifs ou nuls : -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …

L’ensemble des décimaux relatifs, noté $\mathbb{D}$ est l’ensemble des nombres de la forme $\frac{a}{10^n}$ avec $a\in\mathbb{Z}$ et $n\in\mathbb{N}$

L’ensemble des rationnels, noté $\mathbb{Q}$ est l’ensemble des nombres de la forme $\frac{a}{b}$ avec $a\in\mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{N}^*$

L’ensemble des réels, noté $\mathbb{R}$ est le plus grand ensemble de nombres vu en seconde.

Propriété 1 :

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

Exercice n°1 :

Reproduire le tableau suivant et cocher la case quand le nombre appartient à l’ensemble.

	$\mathbb{N}$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{D}$	$\mathbb{Q}$	$\mathbb{R}$
$0.33$
$\frac{11}{7}$
$\sqrt{14}$
$\frac{\pi}{2}$
$-9$
$6$

correction

Exercice n°2 :

Reproduire le tableau suivant et cocher la case quand le nombre appartient à l’ensemble.

	$\mathbb{N}$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{D}$	$\mathbb{Q}$	$\mathbb{R}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{2}{3}$
$\sqrt{4}$
$\frac{\pi}{5}$
$0.333$
$-6$

correction

2.Intervalles. Distance entre nombres réels .

a. Les intervalles

Ensemble des nombres réels $x$

$a \leq x\leq b$

On prend les valeurs comprises entre a et b ainsi que la valeur a et la valeur b.

Représentation graphique

Notation intervalle

$\left[a;b\right]$

Pour que la valeur a soit dans l’intervalle, on l’enferme avec un crochet fermé c’est-à-dire tourné vers l’intérieur de l’intervalle. Idem pour b.

Ensemble des nombres réels $x$

$a \leq x< b$

On prend les valeurs comprises entre a et b ainsi que la valeur a mais pas la valeur b.

Représentation graphique

Notation intervalle

$\left[a;b\right[$

Pour que la valeur a soit dans l’intervalle, on l’enferme avec un crochet fermé c’est-à-dire tourné vers l’intérieur de l’intervalle. Pour que b ne soit pas dans l’intervalle, on ouvre le crochet en le tournant vers l’extérieur.

Ensemble des nombres réels $x$

$x< b$

On prend les valeurs inférieures à b mais pas la valeur b.

Représentation graphique

Notation intervalle

$\left]-\infty;b\right[$

Du côté de $-\infty$ , le crochet est toujours ouvert c’est-à-dire tourné vers l’extérieur de l’intervalle. Pour que b ne soit pas dans l’intervalle, on ouvre le crochet en le tournant vers l’extérieur.

Ensemble des nombres réels $x$

$x\geq a$

On prend les valeurs supérieures à a et on prend la valeur a.

Représentation graphique

Notation intervalle

$\left[a;+\infty\right[$

Du côté de $+\infty$ , le crochet est toujours ouvert c’est-à-dire tourné vers l’extérieur de l’intervalle. Pour que a soit dans l’intervalle, on ferme le crochet en le tournant vers l’intérieur.

Exercice n°3 :

Traduire chaque inégalité en utilisant la notation intervalle.

a) $x<5$

b) $x>-1$

c) $3<x\leq8$

d) $-2\leq x\leq 2$

e) $-6<x<6$

b. Distance entre deux nombres réels

Activité n°1 : Soient les trois points $A,B,C$ situés sur l’axe des abscisses.

Déterminer graphiquement les distances $AB, BA, CA, AC, CB, BC$

correction

Synthèse de l’activité :

on a vu dans l’activité suivante que pour calculer la distance $AB$ on calcule l’abscisse de B moins celle de A. Ici c’est possible car $b>a$ et donc $b-a>0$ .

Pour calculer la distance $BA$ on voudrait calculer l’abscisse de A moins celle de B. Ici ce n’est pas possible car $b>a$

et donc $a-b<0$ .

Pour résoudre ce problème, nous allons créer une fonction (elle s’appelle valeur absolue) qui transforme des nombres en des nombres positifs.

Définition 1 : On appelle valeur absolue d’un nombre réel $x$ le nombre réel $|x|$ qui vérifie :

si $x\geq 0$ alors $|x|=x$

si $x\leq 0$ alors $|x|=-x$

Exemples :

$|5|=5$ car $5\geq 0$ ; $|-3|=-(-3)=3$ car $-3\leq 0$ ; $|0.33|=0.33$ car $0.33\geq 0$ ; $|\pi-4|=-(\pi-4)=-\pi+4$ car $\pi-4\leq 0$

Définition 2 : Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.

La distance entre les réels $a$ et $b$ est le nombre réel $|a-b|$ .

Exercice n°4:

Sur la droite graduée, on a placé les points $A, B, C, D$ d’abscisses respectives $-5, -1, \frac{5}{3}, \pi$ .

En utilisant la définition, calculer les distances $AB, BD, CD, DA,CB$ .

Activité n°2 : Déplacer $t$ de telle sorte que la distance entre les réels $a$ et $t$ reste inférieure ou égale à $5$ .

A quel intervalle $t$ appartient-il ?

correction

Propriété 2:

$a$ et $r$ désignent deux nombres réels et $r>0$ .

$|x-a|\leq r$ équivaut à $x\in\left[a-r;a+r\right]$ .

Exercice n°5:

Ecrire une inégalité vérifiée par $x$ dans les cas suivants :

1. $|x-4|\leq 2$

correction du 1

2. $|x+3|<4$

correction du 2

3. $|x-1| \leq \frac{2}{3}$

correction du 3

	$\mathbb{N}$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{D}$	$\mathbb{Q}$	$\mathbb{R}$
$0.33$			$X$	$X$	$X$
$\frac{11}{7}$				$X$	$X$
$\sqrt{14}$					$X$
$\frac{\pi}{2}$					$X$
$-9$		$X$	$X$	$X$	$X$
$6$	$X$	$X$	$X$	$X$	$X$

	$\mathbb{N}$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{D}$	$\mathbb{Q}$	$\mathbb{R}$
$\frac{1}{4}$			$X$	$X$	$X$
$\frac{2}{3}$				$X$	$X$
$\sqrt{4}$	$X$	$X$	$X$	$X$	$X$
$\frac{\pi}{5}$					$X$
$0.333$			$X$	$X$	$X$
$-6$		$X$	$X$	$X$	$X$