2. Résoudre une équation du premier degré exercices.

Pour valider les réponses aux questions posées, utiliser la fenêtre Géogébra ci-dessous. Pour ce faire sur la ligne 1 saisir $\frac{2+x}{3}=-2$ puis cliquer en haut sur le septième onglet à partir de la gauche, sur la ligne suivante s’affiche Résoudre $\{x=-8\}$ .

On veut résoudre $3x-4=2$ c’est-à-dire parvenir à $x=\dots$

Dans l’équation $3x-4=2$ , le terme $-4$ n’est pas à sa place. Je dois donc ajouter $4$ de chaque côté.

Par al-jabr

$3x=2+4\\3x=6$

Dans l’équation $3x=6$ , le facteur $3$ n’est pas à sa place. Je dois donc diviser par $3$ de chaque côté.

Par al-hatt

$x=\frac{6}{3}\\x=2$

Donc $S = \{2\}$

On veut résoudre $2x+4=-5$ c’est-à-dire parvenir à $x=\dots$

Dans l’équation $2x+4=-5$ , le terme $4$ n’est pas à sa place. Je dois donc enlever $4$ de chaque côté.

Par al-muquabala

$2x=-5-4\\2x=-9$

Dans l’équation $2x=-9$ , le facteur $2$ n’est pas à sa place. Je dois donc diviser par $2$ de chaque côté.

Par al-hatt

$x=-\frac{9}{2}$

Donc $S = \{-\frac{9}{2}\}$

On veut résoudre $-5x-1=\frac{1}{3}$ c’est-à-dire parvenir à $x=\dots$

Dans l’équation $-5x-1=\frac{1}{3}$ , le terme $-1$ n’est pas à sa place. Je dois donc ajouter $1$ de chaque côté.

Par al-jabr $-5x=\frac{1}{3}+1$

Pour ajouter $\frac{1}{3}+1$ il faut mettre au même dénominateur ici, 3.

$-5x=\frac{1}{3}+1\times {\frac{3}{3}}$

$-5x=\frac{1}{3}+\frac{3}{3}$

$-5x=\frac{4}{3}$

Dans l’équation $-5x=\frac{4}{3}$ , le facteur $-5$ n’est pas à sa place. Je dois donc diviser par $-5$ de chaque côté ce qui revient à multiplier par l’inverse $\frac{1}{(-5)}$ .

Par al-hatt $x={\frac{4}{3}}\times{\frac{1}{(-5)}}$

On multiplie entre eux numérateurs et dénominateurs.

$x=-\frac{4}{15}$

Donc $S = \{-\frac{4}{15}\}$

Remarque: pour vérifier que votre solution est exacte, on remplace $x$ par $-\frac{4}{15}$ dans l’équation $-5x-1=\frac{1}{3}$

$-5\times (-\frac{4}{15})-1=\frac{4}{3}-1=\frac{4}{3}-\frac{3}{3}=\frac{1}{3}$

L’égalité est vérifiée donc la solution trouvée convient.

On veut résoudre $\frac{2}{3}x-1=\frac{1}{3}$ c’est-à-dire parvenir à $x=\dots$

Dans l’équation $\frac{2}{3}x-1=\frac{1}{3}$ , le terme $-1$ n’est pas à sa place. Je dois donc ajouter $1$ de chaque côté.

Par al-jabr $\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}+1$

Pour ajouter $\frac{1}{3}+1$ il faut mettre au même dénominateur ici, 3.

$\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}+1\times {\frac{3}{3}}$

$\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}+\frac{3}{3}$

$\frac{2}{3}x=\frac{4}{3}$

Dans l’équation $\frac{2}{3}x=\frac{4}{3}$ , le facteur $\frac{2}{3}$ n’est pas à sa place. Je dois donc diviser par $\frac{2}{3}$ de chaque côté ce qui revient à multiplier par l’inverse $\frac{3}{2}$ .

Par al-hatt $x={\frac{4}{3}}\times{\frac{3}{2}}$

Plutôt que multiplier entre eux numérateurs et dénominateurs, mieux vaut simplifier par 3 et par 2.

$x=2$

Donc $S = \left\{2\right\}$

Remarque: pour vérifier que votre solution est exacte, on remplace $x$ par $2$ dans l’équation $\frac{2}{3}x-1=\frac{1}{3}$

$\frac{2}{3}\times{2}-1=\frac{4}{3}-1=\frac{4}{3}-\frac{3}{3}=\frac{1}{3}$

L’égalité est vérifiée donc la solution trouvée convient.

On veut résoudre $5x+2=\frac{1}{7}$ c’est-à-dire parvenir à $x=\dots$

Dans l’équation $5x+2=\frac{1}{7}$ , le terme $2$ n’est pas à sa place. Je dois donc enlever $2$ de chaque côté.

Par al-jabr $5x=\frac{1}{7}-2$

Pour calculer $\frac{1}{7}-2$ il faut mettre au même dénominateur ici, 7.

$5x=\frac{1}{7}-2\times {\frac{7}{7}}$

$5x=\frac{1}{7}-\frac{14}{7}$

$5x=-\frac{13}{7}$

Dans l’équation $5x=-\frac{13}{7}$ , le facteur $5$ n’est pas à sa place. Je dois donc diviser par $5$ de chaque côté ce qui revient à multiplier par son inverse $\frac{1}{5}$ .

Par al-hatt $x={-\frac{13}{7}}\times{\frac{1}{5}}$

$x=-\frac{13}{35}$

Donc $S = \left\{-\frac{13}{15}\right\}$

Remarque: pour vérifier que votre solution est exacte, on remplace $x$ par $-\frac{13}{35}$ dans l’équation $5x+2=\frac{1}{7}$

${5}\times{(-\frac{13}{35})}+2=-\frac{13}{7}+\frac{14}{7}=\frac{1}{7}$

L’égalité est vérifiée donc la solution trouvée convient.

On veut résoudre $\frac{2+x}{3}=-2$ c’est-à-dire parvenir à $x=\dots$

Le plus simple est d’écrire : $\frac{2+x}{3}=\frac{-2}{1}$ et de faire le produit en croix.

${(2+x)}\times{1}={3}\times{(-2)}$

$2+x=-6$

Dans l’équation $2+x=-6$ , le terme $2$ n’est pas à sa place. Je dois donc enlever $2$ de chaque côté.

Par al-muqabala $x=-6-2\\\hspace{2cm}x=-8$

Donc $S = \left\{-8\right\}$

Remarque: pour vérifier que votre solution est exacte, on remplace $x$ par $-8$ dans l’équation $\frac{2+x}{3}=-2$

$\frac{2-8}{3}=-\frac{6}{3}=-2$

L’égalité est vérifiée donc la solution trouvée convient.

On veut résoudre $\frac{x+6}{5}=\frac{2}{7}$ c’est-à-dire parvenir à $x=\dots$

Pour résoudre $\frac{x+6}{5}=\frac{2}{7}$ , nous allons faire le produit en croix:

${7}\times{(x+6)}={2}\times{5}$

Ensuite on développe le produit à gauche en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.

${7}\times{x}+{7}\times{6}=10\\7x+42=10$

le terme $42$ n’est pas à sa place. Je dois donc enlever $42$ de chaque côté.

Par al-muqabala $7x=10-42\\\hspace{2cm}7x=-32$

Dans l’équation $7x=-32$ , le facteur $7$ n’est pas à sa place. Je dois donc diviser par $7$ de chaque côté.

Par al-hatt $x=-\frac{32}{7}$

Donc $S = \left\{-\frac{32}{7}\right\}$

Remarque: pour vérifier que votre solution est exacte, on remplace $x$ par $-\frac{32}{7}$ dans l’équation $\frac{x+6}{5}=\frac{2}{7}$

$\frac{-\frac{32}{7}+6}{5}=\frac{-\frac{32}{7}+{6}\times{\frac{7}{7}}}{5}={\frac{-32+42}{7}}\times{\frac{1}{5}}={\frac{10}{7}}\times{\frac{1}{5}}=\frac{2}{7}$

L’égalité est vérifiée donc la solution trouvée convient.

On veut résoudre $2(x+4)=1$ c’est-à-dire parvenir à $x=\dots$

Tout d’abord, il faut développer le produit $2(x+4)$ en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.

${2}\times{x}+{2}\times{4}=1$

$2x+8=1$

Dans l’équation $2x+8=1$ , le terme $8$ n’est pas à sa place. Je dois donc enlever $8$ de chaque côté.

Par al-muquabala $2x=1-8\\\hspace{1.4cm}2x=-7$

Dans l’équation $2x=-7$ , le facteur $2$ n’est pas à sa place. Je dois donc diviser par $2$ de chaque côté.

Par al-hatt $x=-\frac{7}{2}$

Donc $S = \left\{-\frac{7}{2}\right\}$

Remarque: pour vérifier que votre solution est exacte, on remplace $x$ par $-\frac{7}{2}$ dans l’équation $2(x+4)=1$

$2(-\frac{7}{2}+4)=2(-\frac{7}{2}+{4}\times{\frac{2}{2}})=2(\frac{-7+8}{2})=2(\frac{1}{2})=1$

L’égalité est vérifiée donc la solution trouvée convient.

On veut résoudre $3(x+1)=x+4$ c’est-à-dire parvenir à $x=\dots$

On doit d’abord développer le produit $3(x+1)$ en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport ‘à l’addition.

${3}\times{x}+{3}\times{1}=x+4$

$3x+3=x+4$

Dans l’équation $3x+3=x+4$ , le terme $3$ n’est pas à sa place. Je dois donc enlever $3$ de chaque côté.

Par al-muqabala $3x=x+4-3$

$\hspace{2cm}3x=x+1$

Dans l’équation $3x=x+1$ , le terme $x$ n’est pas à sa place. Je dois donc enlever $x$ de chaque côté.

Par al-muqabala $3x-x=1$

$\hspace{2.7cm}2x=1$

Le facteur 2 à gauche n’est pas à sa place, il faut diviser par 2 de chaque côté.

Par al hatt $x=\frac{1}{2}$

Donc $S = \left\{\frac{1}{2}\right\}$

Remarque: pour vérifier que votre solution est exacte, on remplace $x$ par $\frac{1}{2}$ dans l’équation $3(x+1)=x+4$

$3(\frac{1}{2}+1)=3(\frac{1}{2}+1\times{\frac{2}{2}}=3(\frac{1}{2}+\frac{2}{2})={3}\times{\frac{3}{2}}=\frac{9}{2}$

$\frac{1}{2}+4=\frac{1}{2}+{4}\times{\frac{2}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{8}{2}=\frac{9}{2}$

L’égalité est vérifiée donc la solution trouvée convient.