On souhaite étudier, par le calcul, la position de la courbe de la fonction fdéfinie sur \mathbf{R} par f(x)=2(x+1)^2 et de la droite D d’équation réduite y=4x+6.
Commencer par construire la courbe de la fonction f et la droite D en utilisant la fenêtre Géogébra ci-dessous.
1. Conjecturer graphiquement la position relative de la courbe et de la droite
2. Etudier par le calcul, la position de la courbe et de la droite.
1. Montrer que f(x)-(4x+6)=2x^2-4.
2. Factoriser 2x^2-4
3. a. Etudier le signe de x-\sqrt{2} en fonction de x.
b. Etudier le signe de x+\sqrt{2} en fonction de x.
c. En déduire le tableau de signes du produit (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) en fonction de x.
4. Déduire des questions précédentes le signe de f(x)-(4x+6). En déduire la position de la courbe de la fonction fdéfinie sur \mathbf{R} par f(x)=2(x+1)^2 et de la droite D d’équation réduite y=4x+6.
A l’aide du logiciel Géogébra, on trace la courbe de la fonction fdéfinie sur \mathbf{R} par f(x)=2(x+1)^2 et la droite D d’équation réduite y=4x+6.
On lit graphiquement que la courbe de f est située au-dessus de la droite pour les valeurs de x plus petites que -1.41 et les valeurs de x plus grandes que 1.41.
Et que la courbe de f est située en-dessous de la droite pour les valeurs de x comprises entre -1.41 et 1.41.
Remarque : dans cette question, la réponse est donnée pour permettre à l’élève de poursuivre l’exercice sans traîner une erreur de calcul.
f(x)-(4x+6)=2(x+1)^2-(4x+6)
Dans une suite d’opérations, on effectue en priorité ce qu’il y a entre parenthèses. Ici il n’y a rien à réduire.
Puis on effectue les puissances.
\hspace{2.4cm}=2(x^2+2x+1)-(4x+6)
Ensuite on effectue les produits. On multiplie par 2 par(x^2+2x+1) et on multiplie par -1 par (4x+6)
\hspace{2.4cm}=2x^2+4x+2-4x-6
Enfin on effectue les sommes, c’est à dire qu’on réduit.
\hspace{2.4cm}=2x^2-4
1. Il y a un facteur commun : 2
2 x^{2}=2 \times x^{2}
4=2 \times 2
2x^2-4=2(x^2-2)
2. A l’aide de l’identité remarquable a^2-b^2=(a-b)(a+b) nous allons factoriser x^2-2
a^{2}=x^{2} donc a=x
b^{2}=2 donc b=\sqrt{2}
Pour finir, il suffit de remplacer a, b , a^{2}, et b^{2} par leurs valeurs dans :
a^{2}-b^{2}= (a-b)(a+b)
\hspace{1.3cm} =2 (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})
Je résous x-\sqrt{2}=0\\x=\sqrt{2}
J’utilise le résultat du cours suivant :
Pour compléter le signe de x-\sqrt{2}dans le tableau de signe, comme a=1 , il est positif, donc on commence par le signe (-) jusqu’au zéro et on complète avec des (+).
Je résous x+\sqrt{2}=0\\x=-\sqrt{2}
J’utilise le résultat du cours suivant :
Pour compléter le signe de x+\sqrt{2}dans le tableau de signe, comme a=1 , il est positif, donc on commence par le signe (-) jusqu’au zéro et on complète avec des (+).
On déduit des questions précédentes le tableau de signes suivant :
On a obtenu à la question précédente le tableau de signes suivant :
On a montré précédemment que f(x)-(4x+6)=2(x-\sqrt{2})(x-\sqrt{2}).
Pour les première et troisième colonnes, (x-\sqrt{2})(x-\sqrt{2}) est de signe +.
Donc sur ]-\infty;-\sqrt{2}]\cup[-\sqrt{2};+\infty[ , f(x)-(4x+6) est de signe + ou nul donc f(x)\geq (4x+6) donc la courbe de la fonction f est au-dessus de la droite.
Pour la seconde colonne, (x-\sqrt{2})(x-\sqrt{2}) est de signe –.
Donc sur [-\sqrt{2};\sqrt{2}] , f(x)-(4x+6) est de signe – ou nul donc f(x)\leq (4x+6) donc la courbe de la fonction f est en-dessous de la droite.