Sommaire
Exercice n°1:
Dans chaque cas, déterminer par le calcul , les coordonnées de I le milieu de [AB]
On peut conjecturer les coordonnées du milieu I en utilisant la fenêtre géogébra ci-dessous. Pour cela on déplacera les points A et B en cliquant sur le premier onglet ( la flèche) et en sélectionnant Déplacer dans le menu déroulant. On n’hésitera pas à bouger le repère en cliquant sur le 11ème onglet et en sélectionnant Déplacer graphique dans le menu déroulant.
a) A(2;1) et B(-6;0)
b) A(5;3) et B(-1;-6)
c) A(\frac{1}{2};-5) et B(-\frac{3}{4};2)
d) A(0;\frac{1}{5}) et B(-1;\frac{1}{3})
Exercice n°2 :
Déterminer si ABCD est un parallélogramme dans chaque cas. Vous justifierez votre réponse à l’aide de calculs.
- A(-1;2), B(3;0), C(0;-2) et D(-4;-1).
2. A(2;5), B(-1;4), C(-2;-3) et D(1;-2).
Exercice n°3 :
Soient A(-2;2) et I(1;3) dans le repère orthonormé ci-dessous.
On appelle B le point tel que I soit le milieu de [AB].
- Placer B dans le repère et lire graphiquement ses coordonnées.
2. Nous allons déterminer les coordonnées du point B par le calcul. Comme on ne les connaît pas, on les note (x;y).
a. Parmi les deux propositions, quelle est la bonne ?
Proposition 1 : x_B=\frac{x_A+x_I}{2} et y_B=\frac{y_A+y_I}{2}
Proposition 2 : x_I=\frac{x_A+x_B}{2} et y_I=\frac{y_A+y_B}{2}
b. Dans la bonne proposition trouvée précédemment, remplacer les lettres de la formule par des nombres , par x et par y.
c. Résoudre les équations suivantes:
\frac{-2+x}{2}=1
\frac{2+y}{2}=3
d. En déduire les coordonnées du point B.
Exercice n°4 :
Soient trois points A(-2;3), B(1;2) et C(0;-1) d’un repère orthonormé.
- Calculer les trois distances AB, AC, BC.
Avant de vous lancer dans les calculs, déterminer les trois distances à l’aide de Géogébra. Pour cela cliquer sur le 8ème onglet en haut en partant de la gauche, sélectionner Distance ou longueur dans le menu déroulant puis cliquer sur les deux points dans le repère. Les distances obtenues sont des valeurs approchées alors qu’avec le calcul on obtiendra des valeurs exactes.
2. Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle en B.
Exercice n°5 :
Soient deux points A(4;0), B(2;2\sqrt{3}) d’un repère orthonormé d’origine O.
- Calculer les trois distances OA, OB, AB.
Avant de vous lancer dans les calculs, déterminer les trois distances à l’aide géogébra. Pour cela cliquer sur le 8ème onglet en haut en partant de la gauche, sélectionner Distance ou longueur dans le menu déroulant puis cliquer sur les deux points dans le repère.
2. En déduire la nature du triangle OAB . Justifier.
Exercice n°6 :
Soient A(-3;1), B(2;3), C(2;-1) et D(-3;-3) quatre points d’un repère orthonormé.
On se propose de montrer que ABCD est un parallélogramme de deux façons différentes.
Méthode 1 : On montre que les diagonales ont même milieu.
a. Calculer les coordonnées de I , le milieu de [AC] .
On peut conjecturer les coordonnées du milieu I en utilisant la fenêtre géogébra ci-dessus. Pour cela on clique sur le deuxième onglet en partant de la gauche et on sélectionne Milieu ou centre dans le menu déroulant. Dans le repère on clique gauche sur le point A et sur le point C, le logiciel nomme le milieu E. Pour le renommer on clique droit sur E et on sélectionne Renommer dans le menu déroulant. On renomme le point avec la lettre I. On lit ses coordonnées dans la colonne Algèbre.
b. Calculer les coordonnées de J , le milieu de [BD] .
On peut conjecturer les coordonnées du milieu J en utilisant la fenêtre géogébra ci-dessus. Pour cela on clique sur le deuxième onglet en partant de la gauche et on sélectionne Milieu ou centre dans le menu déroulant. Dans le repère on clique gauche sur le point B et sur le point D, le logiciel nomme le milieu E. Pour le renommer on clique droit sur E et on sélectionne Renommer dans le menu déroulant. On renomme le point avec la lettre J. On lit ses coordonnées dans la colonne Algèbre.
c. En déduire la nature du parallélogramme ABCD. Justifier.
Méthode 2 : On montre que les côtés opposés ont même longueur deux à deux.
a. Calculer les distances AB et DC. Conclure.
Avant de vous lancer dans les calculs, déterminer les les distances à l’aide géogébra. Pour cela cliquer sur le 8ème onglet en haut en partant de la gauche, sélectionner Distance ou longueur dans le menu déroulant puis cliquer gauche sur les deux points dans le repère.
b. Calculer les distances AD et BC. Conclure.
Avant de vous lancer dans les calculs, déterminer les les distances à l’aide géogébra. Pour cela cliquer sur le 8ème onglet en haut en partant de la gauche, sélectionner Distance ou longueur dans le menu déroulant puis cliquer gauche sur les deux points dans le repère.
c. En déduire la nature du parallélogramme ABCD. Justifier.
Exercice n°7 :
Soient A(4;-1), B(7;3), C(2;3) et D(-1;-1) quatre points d’un repère orthonormé.
On se propose de démontrer que le quadrilatère ABCD est un losange.
Méthode 1 : On montre que les diagonales ont même milieu et qu’elles sont perpendiculaires.
1.a. Déterminer par le calcul , les coordonnées de I le milieu de [AC] .
On peut conjecturer les coordonnées du milieu I en utilisant la fenêtre géogébra ci-dessus. Pour cela on clique sur le deuxième onglet en partant de la gauche et on sélectionne Milieu ou centre dans le menu déroulant. Dans le repère on clique gauche sur le point A et sur le point C, le logiciel nomme le milieu E. Pour le renommer on clique droit sur E et on sélectionne Renommer dans le menu déroulant. On renomme le point avec la lettre I. On lit ses coordonnées dans la colonne Algèbre.
1.b. Déterminer par le calcul , les coordonnées de J le milieu de [BD] .
On peut conjecturer les coordonnées du milieu J en utilisant la fenêtre géogébra ci-dessus. Pour cela on clique sur le deuxième onglet en partant de la gauche et on sélectionne Milieu ou centre dans le menu déroulant. Dans le repère on clique gauche sur le point B et sur le point D, le logiciel nomme le milieu E. Pour le renommer on clique droit sur E et on sélectionne Renommer dans le menu déroulant. On renomme le point avec la lettre J. On lit ses coordonnées dans la colonne Algèbre.
1.c. En déduire que les diagonales [AC] et [BD] ont même milieu.
2.a. Calculer les distances BI , ICet BC.
Avant de vous lancer dans les calculs, déterminer les les distances à l’aide géogébra. Pour cela cliquer sur le 8ème onglet en haut en partant de la gauche, sélectionner Distance ou longueur dans le menu déroulant puis cliquer gauche sur les deux points dans le repère.
2.b. Comparer BI^2+IC^2 et BC^2.
2.c. En déduire que le triangle BIC est rectangle en I.
3. En déduire que le quadrilatère ABCD est un losange.
Méthode 2 : On montre que les quatre côtés ont même longueur.
1) Calculer les distances AB, CD et AD.
Avant de vous lancer dans les calculs, déterminer les les distances à l’aide géogébra. Pour cela cliquer sur le 8ème onglet en haut en partant de la gauche, sélectionner Distance ou longueur dans le menu déroulant puis cliquer gauche sur les deux points dans le repère.
2. En déduire que le quadrilatère ABCD est un losange.
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.8cm} x_{B} y_{B}
\hspace{0.2cm} A(2;1) \hspace{0.4cm} B(-6;0)
On écrit la formule du cours :
x_I=\frac {x_A+x_B}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {y_A+y_B}{2}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
x_I=\frac {2+(-6)}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {1+0}{2}
On calcule. Si vous utilisez la calculatrice , tapez cette séquence de calcul (2+(-6))/2 en utilisant les parenthèses « invisibles » qui entourent le numérateur. Si vous tapez 2+(-6)/2, vous obtiendrez -1 car la machine calculera (-6)/2 en priorité ce qui est faux
x_I=-\frac {4}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {1}{2}
x_I=-2\hspace {2cm}y_I=\frac {1}{2}
Donc I(-2;\frac {1}{2})
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.8cm} x_{B} y_{B}
\hspace{0.2cm} A(5;3) \hspace{0.4cm} B(-1;-6)
On écrit la formule du cours :
x_I=\frac {x_A+x_B}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {y_A+y_B}{2}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
x_I=\frac {5+(-1)}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {3+(-6)}{2}
On calcule. Si vous utilisez la calculatrice , tapez cette séquence de calcul (5+(-1))/2 en utilisant les parenthèses « invisibles » qui entourent le numérateur. Si vous tapez 5+(-1)/2, vous obtiendrez 4.5 car la machine calculera (-1)/2 en priorité ce qui est faux
x_I=\frac {4}{2}\hspace {2cm}y_I=-\frac {3}{2}
x_I=2\hspace {2cm}y_I=-\frac {3}{2}
Donc I(2;-\frac {3}{2})
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.8cm} x_{B} y_{B}
\hspace{0.2cm} A(\frac {1}{2};-5) \hspace{0.4cm} B(-\frac {3}{4};2)
On écrit la formule du cours :
x_I=\frac {x_A+x_B}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {y_A+y_B}{2}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
x_I=\frac {\frac {1}{2}+(-\frac {3}{4})}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {(-5)+2}{2}
Pour calculer \frac {1}{2}+(-\frac {3}{4}) il faut utiliser un dénominateur commun, ici 4. Je dois donc multiplier la première fraction \frac {1}{2} par 2 en haut et en bas.
x_I=\frac {\frac {2}{4}+(-\frac {3}{4})}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {(-5)+2}{2}
x_I=\frac {-\frac {1}{4}}{2}\hspace {2cm}y_I=-\frac {3}{2}
Pour calculer \frac {-\frac {1}{4}}{2}, on utilise la règle \frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}=\frac {a \times d}{b \times c}
x_I=-\frac {1}{8}\hspace {2cm}y_I=-\frac {3}{2}
Donc I(-\frac {1}{8};-\frac {3}{2})
On peut regarder si les diagonales [AC] et [BD] ont même milieu.
- Je calcule les coordonnées du milieu de [AC]
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et C ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.8cm} x_{C} y_{C}
\hspace{0.2cm} A(-1;2) \hspace{0.4cm} C(0;-2)
On écrit la formule du cours :
Le milieu de [AC] a pour coordonnées :
\hspace {2cm}(\frac {x_A+x_C}{2};\frac {y_A+y_C}{2})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
Le milieu de [AC] a pour coordonnées :
\hspace {2cm}(\frac {(-1)+0}{2};\frac {2+(-2)}{2})
On calcule. Si vous utilisez la calculatrice , tapez cette séquence de calcul (-1+0)/2 en utilisant les parenthèses « invisibles » qui entourent le numérateur. Si vous tapez -1+0/2, vous obtiendrez -1 car la machine calculera 0/2 en priorité ce qui est faux
Le milieu de [AC] a pour coordonnées :
\hspace {2cm}(-\frac {1}{2};\frac {0}{2})
ou \hspace {1.7cm}(-\frac {1}{2};0)
2. Je calcule les coordonnées du milieu de [BD]
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points B et D ainsi
\hspace{0.6cm} x_{B} y_{B} \hspace{0.8cm} x_{D} y_{D}
\hspace{0.2cm} B(3;0) \hspace{0.4cm} D(-4;-1)
On écrit la formule du cours :
Le milieu de [BD] a pour coordonnées :
\hspace {2cm}(\frac {x_B+x_D}{2};\frac {y_B+y_D}{2})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
Le milieu de [BD] a pour coordonnées :
\hspace {2cm}(\frac {3+(-4)}{2};\frac {0+(-1)}{2})
On calcule. Si vous utilisez la calculatrice , tapez cette séquence de calcul (3-4)/2 en utilisant les parenthèses « invisibles » qui entourent le numérateur. Si vous tapez 3-4/2, vous obtiendrez 1 car la machine calculera 4/2 en priorité ce qui est faux
Le milieu de [AC] a pour coordonnées :
\hspace {2cm}(-\frac {1}{2};\frac {-1}{2})
Les milieux de [AC] et de [BD] n’ont pas les mêmes coordonnées donc ils ne sont pas confondus. Donc les diagonales [AC] et [BD] n’ont pas le même milieu, donc ABCD n’est pas un parallélogramme.
On peut regarder si les diagonales [AC] et [BD] ont même milieu.
- Je calcule les coordonnées du milieu de [AC]
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et C ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.8cm} x_{C} y_{C}
\hspace{0.2cm} A(2;5) \hspace{0.4cm} C(-2;-3)
On écrit la formule du cours :
Le milieu de [AC] a pour coordonnées :
\hspace {2cm}(\frac {x_A+x_C}{2};\frac {y_A+y_C}{2})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
Le milieu de [AC] a pour coordonnées :
\hspace {2cm}(\frac {2+(-2)}{2};\frac {5+(-3)}{2})
On calcule. Si vous utilisez la calculatrice , tapez cette séquence de calcul (2-2)/2 en utilisant les parenthèses « invisibles » qui entourent le numérateur. Si vous tapez 2-2/2, vous obtiendrez 1 car la machine calculera 2/2 en priorité ce qui est faux
Le milieu de [AC] a pour coordonnées :
\hspace {2cm}(\frac {0}{2};\frac {2}{2})
ou \hspace {1.7cm}(0;1)
2. Je calcule les coordonnées du milieu de [BD]
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points B et D ainsi
\hspace{0.6cm} x_{B} y_{B} \hspace{0.8cm} x_{D} y_{D}
\hspace{0.2cm} B(-1;4) \hspace{0.4cm} D(1;-2)
On écrit la formule du cours :
Le milieu de [BD] a pour coordonnées :
\hspace {2cm}(\frac {x_B+x_D}{2};\frac {y_B+y_D}{2})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
Le milieu de [BD] a pour coordonnées :
\hspace {2cm}(\frac {(-1)+1}{2};\frac {4+(-2)}{2})
On calcule. Si vous utilisez la calculatrice , tapez cette séquence de calcul (-1+1)/2 en utilisant les parenthèses « invisibles » qui entourent le numérateur. Si vous tapez -1+1/2, vous obtiendrez -0.5 car la machine calculera 1/2 en priorité ce qui est faux
Le milieu de [AC] a pour coordonnées :
\hspace {2cm}(\frac {0}{2};\frac {2}{2})
ou \hspace {1.7cm}(0;1)
Les milieux de [AC] et de [BD] ont les mêmes coordonnées donc ils sont confondus. Donc les diagonales [AC] et [BD] ont même milieu, donc ABCD est un parallélogramme.
Les coordonnées de B sont 4 et 4.
La bonne réponse est :
Proposition 2 : x_I=\frac{x_A+x_B}{2} et y_I=\frac{y_A+y_B}{2}
Tout d’abord, on ne cherche pas les coordonnées du milieu mais celles d’un des points. Ici le point B. Comme on ne connaît pas ses coordonnées, on les remplace par les lettres x et y.
On pose B(x;y)
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A , B et I ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{B} y_{B} \hspace{0.6cm} x_{I} y_{I}
\hspace{0.2cm} A(-2;2) \hspace{0.4cm} B(x;y) \hspace{0.4cm} I(1;3)
On écrit la formule du cours :
x_I=\frac {x_A+x_B}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {y_A+y_B}{2}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
1=\frac {(-2)+x}{2}\hspace {2cm}3=\frac {2+y}{2}
Mieux vaut écrire les égalités dans l’autre sens
\frac {-2+x}{2}=1\hspace {2cm}\frac {2+y}{2}=3
On veut résoudre \frac{-2+x}{2}=1 c’est-à-dire parvenir à x=…
Le plus simple est d’écrire : \frac{-2+x}{2}=\frac{1}{1} et de faire le produit en croix.
{(-2+x)}\times{1}={2}\times{1}
-2+x=2
Dans l’équation -2+x=2, le terme -2 n’est pas à sa place. Je dois donc ajouter 2 de chaque côté.
Par al-jabr x=2+2\\\hspace{2cm}x=4
Donc S = \left\{4\right\}
Remarque: pour vérifier que votre solution est exacte, on remplace x par 4 dans l’équation \frac{-2+x}{2}=1
\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1
L’égalité est vérifiée donc la solution trouvée convient.
Comme on utilise la touche X,T,O,n pour l’inconnue dans l’équation, l’inconnue s’appellera x.
On veut résoudre \frac{2+y}{2}=3 c’est-à-dire parvenir à y=…
Le plus simple est d’écrire : \frac{2+y}{2}=\frac{3}{1} et de faire le produit en croix.
{(2+y)}\times{1}={2}\times{3}
2+y=6
Dans l’équation 2+y=6, le terme 2 n’est pas à sa place. Je dois donc enlever 2 de chaque côté.
Par al-muqabala y=6-2\\\hspace{2cm}y=4
Donc S = \left\{4\right\}
Remarque: pour vérifier que votre solution est exacte, on remplace y par 4 dans l’équation \frac{2+y}{2}=3
\frac{2+4}{2}=\frac{6}{2}=3
L’égalité est vérifiée donc la solution trouvée convient.
Le point B a pour coordonnées (4;4).
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{B} y_{B}
\hspace{0.2cm} A(-2;3) \hspace{0.4cm} B(1;2)
On écrit la formule du cours :
AB=\sqrt {{(x_B-x_A) }^{2}+{(y_B-y_A) }^{2}}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
AB=\sqrt {{(1-(-2))}^{2}+{(2-3)}^{2}}
AB=\sqrt {{(1+2)}^{2}+{(2-3)}^{2}}
On calcule. On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses
AB=\sqrt {{3}^{2}+{(-1)}^{2}}
On effectue ensuite les puissances, ici les carrés.
AB=\sqrt {9+1}
On effectue ensuite la somme
AB=\sqrt {10}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et C ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{C} y_{C}
\hspace{0.2cm} A(-2;3) \hspace{0.4cm} C(0;-1)
On écrit la formule du cours :
AC=\sqrt {{(x_C-x_A) }^{2}+{(y_C-y_A) }^{2}}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
AC=\sqrt {{(0-(-2))}^{2}+{((-1)-3)}^{2}}
AC=\sqrt {{(0+2)}^{2}+{((-1)-3)}^{2}}
On calcule. On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses
AB=\sqrt {{2}^{2}+{(-4)}^{2}}
On effectue ensuite les puissances, ici les carrés.
AB=\sqrt {4+16}
On effectue ensuite la somme
AB=\sqrt {20}
20 s’écrit comme le produit d’un carré fois un nombre, c’est-à-dire 4\times 5.
AB=\sqrt {4\times 5}
AB={\sqrt {4}}\times {\sqrt{5}}
AB=2\sqrt{5}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points B et C ainsi
\hspace{0.6cm} x_{B} y_{B} \hspace{0.6cm} x_{C} y_{C}
\hspace{0.2cm} B(1;2) \hspace{0.4cm} C(0;-1)
On écrit la formule du cours :
BC=\sqrt {{(x_C-x_B) }^{2}+{(y_C-y_B) }^{2}}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
BC=\sqrt {{(0-1)}^{2}+{((-1)-2)}^{2}}
On calcule. On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses
BC=\sqrt {{(-1)}^{2}+{(-3)}^{2}}
On effectue ensuite les puissances, ici les carrés.
BC=\sqrt {1+9}
On effectue ensuite la somme
BC=\sqrt {10}
Nous avons calculé les trois distances dans la question précédente et nous avons constaté que AB=BC. Donc le triangle ABC est isocèle en B.
On a conjecturé graphiquement qu’il est rectangle en B. Montrons-le.
BA^2+BC^2={\sqrt{10}}^2+{\sqrt{10}}^2=10+10=20\\AC^2={(2\sqrt{5})}^2=4\times5=20
Donc BA^2+BC^2=AC^2 donc le triangle ABC est rectangle en B.
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points O et A ainsi
\hspace{0.6cm} x_{0} y_{0} \hspace{0.6cm} x_{A} y_{A}
\hspace{0.2cm} O(0;0) \hspace{0.4cm} A(4;0)
On écrit la formule du cours :
OA=\sqrt {{(x_A-x_O) }^{2}+{(y_A-y_O) }^{2}}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
OA=\sqrt {{(4-0)}^{2}+{(0-0)}^{2}}
On calcule. On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses
OA=\sqrt {{4}^{2}+{0}^{2}}
On effectue ensuite les puissances, ici les carrés.
OA=\sqrt {16+0}
On effectue ensuite la somme
OA=\sqrt {16}
OA=4
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points O et B ainsi
\hspace{0.6cm} x_{0} y_{0} \hspace{0.6cm} x_{B} y_{B}
\hspace{0.2cm} O(0;0) \hspace{0.4cm} B(2;2\sqrt3)
On écrit la formule du cours :
OB=\sqrt {{(x_B-x_O) }^{2}+{(y_B-y_O) }^{2}}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
OB=\sqrt {{(2-0)}^{2}+{(2\sqrt3-0)}^{2}}
On calcule. On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses
OB=\sqrt {{2}^{2}+{(2\sqrt3})^{2}}
OB=\sqrt {{2}^{2}+2^2\times {\sqrt3^2}}
On effectue ensuite les puissances, ici les carrés.
OB=\sqrt {4+4\times3}
OB=\sqrt {4+12}
On effectue ensuite la somme
OB=\sqrt {16}
OB=4
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{B} y_{B}
\hspace{0.2cm} A(4;0) \hspace{0.4cm} B(2;2\sqrt3)
On écrit la formule du cours :
AB=\sqrt {{(x_B-x_A) }^{2}+{(y_B-y_A) }^{2}}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
AB=\sqrt {{(2-4)}^{2}+{(2\sqrt3-0)}^{2}}
On calcule. On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses
AB=\sqrt {{(-2)}^{2}+{(2\sqrt3})^{2}}
AB=\sqrt {(-2)^2+{2^2}\times {\sqrt3^2}}
On effectue ensuite les puissances, ici les carrés.
AB=\sqrt {4+4\times3}
AB=\sqrt {4+12}
On effectue ensuite la somme
AB=\sqrt {16}
AB=4
Les trois côtés ont même longueur donc le triangle OAB est équilatéral.
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et C ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.8cm} x_{C} y_{C}
\hspace{0.2cm} A(-3;1) \hspace{0.4cm} C(2;-1)
On écrit la formule du cours :
x_I=\frac {x_A+x_C}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {y_A+y_C}{2}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
x_I=\frac {(-3)+2}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {1+(-1)}{2}
On calcule. Si vous utilisez la calculatrice , tapez cette séquence de calcul (-3+2)/2 en utilisant les parenthèses « invisibles » qui entourent le numérateur. Si vous tapez -3+2/2, vous obtiendrez -2 car la machine calculera 2/2 en priorité ce qui est faux
x_I=-\frac {1}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {0}{2}
x_I=-\frac {1}{2}\hspace {2cm}y_I=0
Donc I(-\frac {1}{2};0)
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points B et D ainsi
\hspace{0.6cm} x_{B} y_{B} \hspace{0.8cm} x_{D} y_{D}
\hspace{0.2cm} B(2;3) \hspace{0.4cm} D(-3;-3)
On écrit la formule du cours :
x_J=\frac {x_B+x_D}{2}\hspace {2cm}y_J=\frac {y_B+y_D}{2}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
x_J=\frac {2+(-3)}{2}\hspace {2cm}y_J=\frac {3+(-3)}{2}
On calcule. Si vous utilisez la calculatrice , tapez cette séquence de calcul (2-3)/2 en utilisant les parenthèses « invisibles » qui entourent le numérateur. Si vous tapez 2-3/2, vous obtiendrez 0.5 car la machine calculera 3/2 en priorité ce qui est faux
x_J=-\frac {1}{2}\hspace {2cm}y_J=\frac {0}{2}
x_J=-\frac {1}{2}\hspace {2cm}y_J=0
Donc J(-\frac {1}{2};0)
Nous avons montré que le milieu I de [AC] et que le milieu J de [BD] sont confondus car ils ont les mêmes coordonnées.
Les diagonales [AC] et [BD] ont même milieu donc [ABCD] est un parallélogramme.
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{B} y_{B}
\hspace{0.2cm} A(-3;1) \hspace{0.4cm} B(2;3)
On écrit la formule du cours :
AB=\sqrt {{(x_B-x_A) }^{2}+{(y_B-y_A) }^{2}}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
AB=\sqrt {{(2-(-3))}^{2}+{(3-1)}^{2}}
On calcule. On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses
AB=\sqrt {{(2+3)}^{2}+{(2)}^{2}}
AB=\sqrt {{5}^{2}+{(2)}^{2}}
On effectue ensuite les puissances, ici les carrés.
AB=\sqrt {25+4}
On effectue ensuite la somme
AB=\sqrt {29}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points D et C ainsi
\hspace{0.6cm} x_{D} y_{D} \hspace{1cm} x_{C} y_{C}
\hspace{0.2cm} D(-3;-3) \hspace{0.4cm} C(2;-1)
On écrit la formule du cours :
DC=\sqrt {{(x_C-x_D) }^{2}+{(y_C-y_D) }^{2}}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
DC=\sqrt {{(2-(-3))}^{2}+{((-1)-(-3))}^{2}}
On calcule. On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses
DC=\sqrt {{(2+3)}^{2}+{((-1)+3)}^{2}}
DC=\sqrt {{5}^{2}+{2}^{2}}
On effectue ensuite les puissances, ici les carrés.
DC=\sqrt {25+4}
On effectue ensuite la somme
DC=\sqrt {29}
Comme AB=\sqrt29 et comme DC=\sqrt29 alors AB=DC.
Donc les côtés opposés [AB] et [DC] ont même longueur.
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et D ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.9cm} x_{D} y_{D}
\hspace{0.2cm} A(-3;1) \hspace{0.4cm} D(-3;-3)
On écrit la formule du cours :
AD=\sqrt {{(x_D-x_A) }^{2}+{(y_D-y_A) }^{2}}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
AD=\sqrt {{((-3)-(-3))}^{2}+{((-3)-1)}^{2}}
On calcule. On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses
AD=\sqrt {{(-3+3)}^{2}+{(-4)}^{2}}
AD=\sqrt {{0}^{2}+{(-4)}^{2}}
On effectue ensuite les puissances, ici les carrés.
AD=\sqrt {0+16}
On effectue ensuite la somme
AD=\sqrt {16}
AD=4
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points B et C ainsi
\hspace{0.6cm} x_{B} y_{B} \hspace{0.5 cm} x_{C} y_{C}
\hspace{0.2cm} B(2;3) \hspace{0.4cm} C(2;-1)
On écrit la formule du cours :
BC=\sqrt {{(x_C-x_B) }^{2}+{(y_C-y_B) }^{2}}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
BC=\sqrt {{(2-2)}^{2}+{((-1)-3)}^{2}}
On calcule. On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses
BC=\sqrt {{0}^{2}+{(-4)}^{2}}
On effectue ensuite les puissances, ici les carrés.
BC=\sqrt {0+16}
On effectue ensuite la somme
BC=\sqrt {16}
BC=4
On a montré que les côtés opposés [AB] et [DC] ont même longueur et que les côtés opposés [AD] et [BC] ont même longueur.
Donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme car ses côtés opposés ont même longueur.
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et C ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{C} y_{C}
\hspace{0.2cm} A(4;-1) \hspace{0.4cm} C(2;3)
On écrit la formule du cours :
x_I=\frac {x_A+x_C}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {y_A+y_C}{2}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
x_I=\frac {4+2}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {(-1)+3}{2}
On calcule. Si vous utilisez la calculatrice , tapez cette séquence de calcul (4+2)/2 en utilisant les parenthèses « invisibles » qui entourent le numérateur. Si vous tapez 4+2/2, vous obtiendrez 5 car la machine calculera 2/2 en priorité ce qui est faux
x_I=\frac {6}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {2}{2}
x_I=3\hspace {2cm}y_I=1
Donc I(3;1)
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points B et D ainsi
\hspace{0.6cm} x_{B} y_{B} \hspace{0.6cm} x_{D} y_{D}
\hspace{0.2cm} B(7;3) \hspace{0.4cm} D(-1;-1)
On écrit la formule du cours :
x_J=\frac {x_B+x_D}{2}\hspace {2cm}y_J=\frac {y_B+y_D}{2}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
x_J=\frac {7+(-1)}{2}\hspace {2cm}y_J=\frac {3+(-1)}{2}
On calcule. Si vous utilisez la calculatrice , tapez cette séquence de calcul (7-1)/2 en utilisant les parenthèses « invisibles » qui entourent le numérateur. Si vous tapez 7-1/2, vous obtiendrez 6.5 car la machine calculera 1/2 en priorité ce qui est faux
x_J=\frac {6}{2}\hspace {2cm}y_J=\frac {2}{2}
x_J=3\hspace {2cm}y_J=1
Donc J(3;1)
Les points I et J sont confondus car ils ont mêmes coordonnées, donc les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu.
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points B et I ainsi
\hspace{0.6cm} x_{B} y_{B} \hspace{0.6cm} x_{I} y_{I}
\hspace{0.2cm} B(7;3) \hspace{0.4cm} I(3;1)
On écrit la formule du cours :
BI=\sqrt {{(x_I-x_B) }^{2}+{(y_I-y_B) }^{2}}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
BI=\sqrt {{(3-7)}^{2}+{(1-3)}^{2}}
On calcule. On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses
BI=\sqrt {{(-4)}^{2}+{(-2)}^{2}}
On effectue ensuite les puissances, ici les carrés.
BI=\sqrt {16+4}
On effectue ensuite la somme
BI=\sqrt {20}
Comme 20 peut s’écrire comme le produit d’un carré fois un nombre, 20=2^2\times 5
BI=\sqrt {2^2\times 5}
BI=2\sqrt 5
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points I et C ainsi
\hspace{0.6cm} x_{I} y_{I} \hspace{0.6cm} x_{C} y_{C}
\hspace{0.2cm} I(3;1) \hspace{0.4cm} C(2;3)
On écrit la formule du cours :
IC=\sqrt {{(x_C-x_I) }^{2}+{(y_C-y_I) }^{2}}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
IC=\sqrt {{(2-3)}^{2}+{(3-1)}^{2}}
On calcule. On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses
IC=\sqrt {{(-1)}^{2}+{2}^{2}}
On effectue ensuite les puissances, ici les carrés.
IC=\sqrt {1+4}
On effectue ensuite la somme
IC=\sqrt {5}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points B et C ainsi
\hspace{0.4cm} x_{B} y_{B} \hspace{0.6cm} x_{C} y_{C}
\hspace{0.2cm} B(7;3) \hspace{0.4cm} C(2;3)
On écrit la formule du cours :
BC=\sqrt {{(x_C-x_B) }^{2}+{(y_C-y_B) }^{2}}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
BC=\sqrt {{(2-7)}^{2}+{(3-3)}^{2}}
On calcule. On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses
BC=\sqrt {{(-5)}^{2}+{0}^{2}}
On effectue ensuite les puissances, ici les carrés.
BC=\sqrt {25+0}
On effectue ensuite la somme
BC=\sqrt {25}
BC=5
BI^2+IC^2=(2\sqrt5)^2+(\sqrt5)^2=4\times5+5=20+5=25\\BC^2=5^2=25
Donc BI^2+IC^2=BC^2.
On a montré précédemment que BI^2+IC^2=BC^2.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle BIC est rectangle en I.
On a montré que dans le quadrilatère ABCD les diagonales ont même milieu ( question 1.c) et que les diagonales sont perpendiculaires ( question 2c) donc le quadrilatère ABCD est un losange.
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{B} y_{B}
\hspace{0.2cm} A(4;-1) \hspace{0.4cm} B(7;3)
On écrit la formule du cours :
AB=\sqrt {{(x_B-x_A) }^{2}+{(y_B-y_A) }^{2}}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
AB=\sqrt {{(7-4)}^{2}+{(3-(-1))}^{2}}
On calcule. On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses
AB=\sqrt {3^{2}+4^{2}}
On effectue ensuite les puissances, ici les carrés.
AB=\sqrt {9+16}
On effectue ensuite la somme
AB=\sqrt {25}
AB=5
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points C et D ainsi
\hspace{0.6cm} x_{C} y_{C} \hspace{0.9cm} x_{D} y_{D}
\hspace{0.2cm} C(2;3) \hspace{0.4cm} D(-1;-1)
On écrit la formule du cours :
CD=\sqrt {{(x_D-x_C) }^{2}+{(y_D-y_C) }^{2}}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
CD=\sqrt {{((-1)-2)}^{2}+{((-1)-3)}^{2}}
On calcule. On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses
CD=\sqrt {{(-3)}^{2}+{(-4)}^{2}}
On effectue ensuite les puissances, ici les carrés.
CD=\sqrt {9+16}
On effectue ensuite la somme
CD=\sqrt {25}
CD=5
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et D ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.9cm} x_{D} y_{D}
\hspace{0.2cm} A(4;-1) \hspace{0.4cm} D(-1;-1)
On écrit la formule du cours :
AD=\sqrt {{(x_D-x_A) }^{2}+{(y_D-y_A) }^{2}}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
AD=\sqrt {{((-1)-4)}^{2}+{((-1)-(-1))}^{2}}
On calcule. On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses
AD=\sqrt {{(-5)}^{2}+{0}^{2}}
On effectue ensuite les puissances, ici les carrés.
AD=\sqrt {25+0}
On effectue ensuite la somme
AD=\sqrt {25}
AD=5
Les quatre côtés ont même longueur 5.
Donc ABCD est un losange.