Moyenne et écart-type
Définition 1
Pour une série représentée par le tableau d’effectifs ci-dessous :
La moyenne pondérée de la série est le nombre noté \overline{x} tel que
\overline{x}=\frac{n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+…+n_{p}x_{p}}{N}
où N représente l’effectif total, c’est-à-dire que
N=n_{1}+n_{2}+…+n_{p}
Propriété 1
Si toutes les valeurs d’une série sont multipliées par un nombre, la moyenne est aussi multipliée par ce nombre.
Si on ajoute un même nombre à toutes les valeurs d’une série , la moyenne est aussi augmentée de ce nombre.
Exercice n°1
François a obtenu les notes suivantes au premier trimestre
12 13 11 14 13
Calculer sa moyenne pour le trimestre ( le professeur compte toutes les notes coefficient 1 )
Exercice n°2
Voici les temps réalisés (en secondes) par 15 élèves de seconde au 500 m.
90 95 102 106 85 120 110 115 116 98 88 111 125 114 116
Calculer le temps moyen pour ce groupe d’élèves.
Exercice n°3
Une opératrice téléphonique a mesuré la durée de communication avec chaque client pendant une journée.
Calculer la durée moyenne d’un appel.
Exercice n°4
Un professeur de mathématiques demande à ses élèves combien d’enfants comporte leur famille. Il présente les données recueillies dans le tableau ci-dessous :
Calculer le nombre moyen d’enfants par famille.
Exercice n°5
Un professeur de mathématiques demande à ses élèves combien mettent-ils de temps aller/retour pour venir au lycée. Il présente les données recueillies dans le tableau ci-dessous :
Calculer le temps moyen mis par les élèves pour venir au lycée aller/retour .
Définition 2
L’écart-type de la série ci-dessous
est le nombre positif, noté \sigma, défini par
\sigma=\sqrt{\frac{n_{1}(x_{1}-\overline{x})^{2}+n_{2}(x_{2}-\overline{x})^{2}+…+n_{p}(x_{p}-\overline{x})^{2}}{N}}
Exercice n°1bis
François a obtenu les notes suivantes au premier trimestre
12 13 11 14 13
Calculer sa moyenne pour le trimestre et l’écart-type.
Exercice n°6
On a relevé la fréquence cardiaque d’un goupe de personnes après une séance d’entraînement.
Calculer la moyenne et l’écart-type.
Exercice n°7
On teste une machine qui remplit automatiquement des yaourts contenant 110 g de produit. On pèse 100 yaourts et on obtient le tableau suivant.
Calculer la moyenne et l’écart-type.
Médiane et écart interquartile.
Définition 3
Soit une série d’effectif total N dont les valeurs sont rangées dans l’ordre croissant.
Si N est impair, la médiane notée Me est la valeur centrale de la série.
Si N est pair, la médiane notée Me est la moyenne des valeurs centrales de la série.
Propriété 2
50% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à la médiane.
Exercice n°2bis
Voici les temps réalisés (en secondes) par 15 élèves de seconde au 500 m.
90 95 102 106 85 120 110 115 116 98 88 111 125 114 116
Déterminer la médiane de cette série.
Exercice n°4bis
Un professeur de mathématiques demande à ses élèves combien d’enfants comporte leur famille. Il présente les données recueillies dans le tableau ci-dessous :
Déterminer la médiane de cette série.
Définition 4
Le premier quartile Q_{1} est la plus petite valeur du caractère telle qu’au moins 25% des valeurs de la série soient inférieures ou égales à Q_{1} .
Le troisième quartile Q_{3} est la plus petite valeur du caractère telle qu’au moins 75% des valeurs de la série soient inférieures ou égales à Q_{3} .
Exercice n°8
Dans une entreprise de 10 salariés les salaires mensuels ( en euros) sont les suivants :
5702 3010 1980 2300 3054 2010 3120 2500 2015 1990 .
Calculer Q_{1} et Q_{3}.
Exercice n°9
On a demandé à 28 élèves d’une classe de seconde le temps passé sur internet par semaine.
Voici leurs réponses (en heures).
Calculer Q_{1} et Q_{3}.
Définition 5
L’écart interquartile est la différence Q_3-Q_1.
L’intervalle interquartile est l’intervalle [Q_1;Q_3].
Propriété 3
Au moins 50\% des valeurs de la série sont comprises dans l’intervalle interquartile.
Nous sommes ici dans le cas où les données sont à l’état brut.
On les ajoute et on divise par le nombre de données.
\overline{x}=\frac{12+13+11+14+13}{5}\\\overline{x}=12.6
Nous sommes ici dans le cas où les données sont à l’état brut.
On les ajoute et on divise par le nombre de données.
\overline{x}=\frac{90+95+102+106+85+120+110+115+116+98+88+111+125+114+116}{15}\\\overline{x}=\frac{1591}{15}\\\overline{x}=106.07
Ici les données sont regroupées dans un tableau.
Les valeurs du caractères sont des nombres, on applique directement le cours.
\overline{x}=\frac{n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+…+n_{p}x_{p}}{N}
On remplace x_{1} par 1 , n_{1} par 90 , x_{2} par 2 , n_{2} par 35 , … dans la formule.
\overline{x}=\frac{90\times1+35\times2+50\times3+90\times6+70\times8+60\times9+160\times10}{90+35+50+90+70+60+160}\\\overline{x}=\frac{3550}{555}\\\overline{x}=6.4
Ici les données sont regroupées dans un tableau.
Les valeurs du caractères sont des nombres, on applique directement le cours.
\overline{x}=\frac{n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+…+n_{p}x_{p}}{N}
On remplace x_{1} par 1 , n_{1} par 2 , x_{2} par 2 , n_{2} par 8 , … dans la formule.
\overline{x}=\frac{2\times1+8\times2+12\times3+8\times4+2\times5}{2+8+12+8+2}\\\overline{x}=\frac{96}{32}\\\overline{x}=3
Lorsque les valeurs du caractère étudié sont des classes ( intervalles) , pour calculer la moyenne on les remplace par leur centre.
Par exemple le centre de [0;10[ se calcule ainsi \frac{0+10}{2}=5 , celui de [10;20[ se calcule ainsi \frac{10+20}{2}=15.
Ici les données sont regroupées dans un tableau.
Les valeurs du caractères sont des nombres, on applique directement le cours.
\overline{x}=\frac{n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+…+n_{p}x_{p}}{N}
On remplace x_{1} par 5 , n_{1} par 8 , x_{2} par 15 , n_{2} par 9 , … dans la formule.
\overline{x}=\frac{8\times5+9\times15+4\times25+4\times35+3\times45+55\times2}{8+9+4+4+3+2}\\\overline{x}=\frac{660}{30}\\\overline{x}=22
Nous sommes ici dans le cas où les données sont à l’état brut.
On les ajoute et on divise par le nombre de données.
\overline{x}=\frac{12+13+11+14+13}{5}\\\overline{x}=12.6
Pour calculer l’écart-type, on considère que chaque valeur du caractère a un effectif égal à 1.
On remplace n_{1} par 1, x_{1} par 12, n_{2} par 1, x_{2} par 13,…\overline{x} par 12.6
dans la formule suivante
\sigma=\sqrt{\frac{n_{1}(x_{1}-\overline{x})^{2}+n_{2}(x_{2}-\overline{x})^{2}+…+n_{p}(x_{p}-\overline{x})^{2}}{N}}
\sigma=\sqrt{\frac{1\times(12-12.6)^{2}+1\times(13-12.6)^{2}+1\times(11-12.6)^{2}+1\times(14-12.6)^{2}+1\times(13-12.6)^{2}}{5}}
En respectant la priorité des opérations, on calcule d’abord ce qu’il y a entre parenthèses
\sigma=\sqrt{\frac{1\times(-0.6)^{2}+1\times(0.4)^{2}+1\times(-1.6)^{2}+1\times(1.4)^{2}+1\times(0.4)^{2}}{5}}
On effectue ensuite les puissances
\sigma=\sqrt{\frac{1\times0.36+1\times0.16+1\times2.56+1\times1.96+1\times0.16}{5}}
On effectue les produits
\sigma=\sqrt{\frac{0.36+0.16+2.56+1.96+0.16}{5}}
On fait la somme
\sigma=\sqrt{\frac{5.2}{5}}
On fait le quotient
\sigma=\sqrt{1.04}
On calcule la racine carrée
\sigma=1.02
Ici les données sont regroupées dans un tableau.
Les valeurs du caractères sont des nombres, on applique directement le cours.
\overline{x}=\frac{n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+…+n_{p}x_{p}}{N}
On remplace x_{1} par 170 , n_{1} par 2 , x_{2} par 175 , n_{2} par 3 , … dans la formule.
\overline{x}=\frac{2\times170+3\times175+4\times177+6\times182+5\times189+2\times190+1\times191}{2+3+4+6+5+2+1}\\\overline{x}=\frac{4181}{23}\\\overline{x}=181.78
On remplace n_{1} par 2, x_{1} par 170, n_{2} par 3, x_{2} par 175,…\overline{x} par 181.78
dans la formule suivante
\sigma=\sqrt{\frac{n_{1}(x_{1}-\overline{x})^{2}+n_{2}(x_{2}-\overline{x})^{2}+…+n_{p}(x_{p}-\overline{x})^{2}}{N}}
\sigma=\sqrt{\frac{2\times(170-181.78)^{2}+3\times(175-181.78)^{2}+4\times(177-181.78)^{2}+6\times(182-181.78)^{2}+5\times(189-181.78)^{2}+2\times(190-181.78)^{2}+1\times(191-181.78)^{2}}{2+3+4+6+5+2+1}}
En respectant la priorité des opérations, on calcule d’abord ce qu’il y a entre parenthèses
\sigma=\sqrt{\frac{2\times(-11.78)^{2}+3\times(-6.78)^{2}+4\times(-4.78)^{2}+6\times(0.22)^{2}+5\times(7.22)^{2}+2\times(8.2)^{2}+1\times(9.22)^{2}}{23}}
On effectue ensuite les puissances
\sigma=\sqrt{\frac{2\times138.7684+3\times45.9684+4\times22.8484+6\times0.0484+5\times52.1284+2\times67.24+1\times85.0084}{23}}
On effectue les produits
\sigma=\sqrt{\frac{277.5368+137.9052+91.3936+0.2904+260.642+134.48+85.0084}{23}}
On fait la somme
\sigma=\sqrt{\frac{987.2564}{23}}
On fait le quotient
\sigma=\sqrt{42.92}
On calcule la racine carrée
\sigma=6.55
Ici les données sont regroupées dans un tableau.
Les valeurs du caractères sont des nombres, on applique directement le cours.
\overline{x}=\frac{n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+…+n_{p}x_{p}}{N}
On remplace x_{1} par 107 , n_{1} par 1 , x_{2} par 108 , n_{2} par 4 , … dans la formule.
\overline{x}=\frac{1\times107+4\times108+4\times109+80\times110+6\times111+3\times112+2\times113}{100}\\\overline{x}=\frac{110003}{100}\\\overline{x}=110.03
On remplace n_{1} par 1, x_{1} par 107, n_{2} par 4, x_{2} par 108,…\overline{x} par 110.03
dans la formule suivante
\sigma=\sqrt{\frac{n_{1}(x_{1}-\overline{x})^{2}+n_{2}(x_{2}-\overline{x})^{2}+…+n_{p}(x_{p}-\overline{x})^{2}}{N}}
\sigma=\sqrt{\frac{1\times(107-110.03)^{2}+4\times(108-110.03)^{2}+4\times(109-110.03)^{2}+80\times(110-110.03)^{2}+6\times(111-110.03)^{2}+3\times(112-110.03)^{2}+2\times(113-110.03)^{2}}{100}}
En respectant la priorité des opérations, on calcule d’abord ce qu’il y a entre parenthèses
\sigma=\sqrt{\frac{1\times(-3.03)^{2}+4\times(-2.03)^{2}+4\times(-1.03)^{2}+80\times(-0.03)^{2}+6\times(0.97)^{2}+3\times(1.97)^{2}+2\times(2.97)^{2}}{100}}
On effectue ensuite les puissances
\sigma=\sqrt{\frac{1\times 9.1809+4\times 4.1209+4\times 1.0609+80\times 0.0009+6\times 0.9409+3\times 3.8809+2\times 8.8209}{100}}
On effectue les produits
\sigma=\sqrt{\frac{9.1809+16.4836+4.2436+0.072+5.6454+11.6427+17.6418}{100}}
On fait la somme
\sigma=\sqrt{\frac{64.91}{100}}
On fait le quotient
\sigma=\sqrt{0.6491}
On calcule la racine carrée
\sigma=0.8057
Il faut dans un premier temps vérifier que les valeurs de la série sont rangés dans l’ordre croissant, ce qui n’est pas le cas.
Suivre la procédure décrite ci-dessous.
L’effectif total est 15, la médiane est la valeur centrale. On fait deux paquets de 7, la valeur centrale est la 8ième valeur.
85 88 90 95 98 102 106 110 111 114 115 116 116 120 125
\hspace{4.1cm}paquet\hspace{0.1cm} de\hspace{0.1cm} 7 \hspace{0.5cm} Me \hspace{0.5cm} paquet \hspace{0.1cm}de\hspace{0.1cm} 7
Il faut dans un premier temps vérifier que les valeurs de la série sont rangés dans l’ordre croissant, ce qui est le cas.
L’effectif total est 30, la médiane est la moyenne des valeurs centrales. On fait deux paquets de 15, la moyenne des valeurs centrales se calcule en ajoutant la 15ème valeur et la 16ème valeur puis en divisant par 2.
On peut visualiser la situation avec le schéma suivant ( il n’est pas nécessaire de le faire apparaître sur la copie).
1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5
\hspace{4.1cm}paquet\hspace{0.1cm} de\hspace{0.1cm} 15 \hspace{0.5cm} \hspace{1cm} paquet \hspace{0.1cm}de\hspace{0.1cm} 15\\ Me=\frac{3+3}{2}\\ Me=3
Il faut dans un premier temps vérifier que les valeurs de la série sont rangés dans l’ordre croissant, ce qui n’est pas le cas.
Suivre la procédure décrite ci-dessous.
L’effectif total est 10. Si on divise 10 par 4, on obtient 2.5. L’entier qui suit 2.5 est 3.
Donc Q_{1} est la troisième valeur, c’est-à-dire que Q_{1}=2010
1980 1990 2010 2015 2300 2500 3010 3054 3120 5702
\hspace{3.5cm}25\%\hspace{0.5cm} \hspace{0.1cm} Q_{1} \hspace{0.5cm} 75\%
L’effectif total est 10. Si on divise 10 par 4, on obtient 2.5. On multiplie ensuite par 3 et on obtient 7.5. L’entier qui suit 7.5 est 8.
Donc Q_{3} est la huitième valeur, c’est-à-dire que Q_{3}=3054
1980 1990 2010 2015 2300 2500 3010 3054 3120 5702
\hspace{7.1cm}75\%\hspace{0.5cm} \hspace{0.1cm} Q_{3} \hspace{0.5cm} 25\% .
L’effectif total est 28. Si on divise 28 par 4, on obtient 7.
Donc Q_{1} est la septième valeur, c’est-à-dire que Q_{1}=7
2 4 6 6 7 7 7 11 13 13 13 13 14 15 15 15 15 15 18 18 18 20 20 24 26 26 30 30
\hspace{1.8cm}25\%\hspace{0.5cm} \hspace{0.1cm} Q_{1} \hspace{0.5cm} 75\%
L’effectif total est 28. Si on divise 28 par 4, on obtient 7. On multiplie ensuite par 3 et on obtient 21.
Donc Q_{3} est la vingt et unième valeur, c’est-à-dire que Q_{3}=18
2 4 6 6 7 7 7 11 13 13 13 13 14 15 15 15 15 15 18 18 18 20 20 24 26 26 30 30
\hspace{7.7cm}75\%\hspace{0.5cm} \hspace{0.1cm} Q_{3} \hspace{0.5cm} 25\% .